این قضیه $Levitzki $ است که اثبات زیر برگرفته از اثبات نوشته شده در کتاب $Algebras, Rings \ and \ Modules, \ Volume 2$است.
از آنجایی که حلقه نوتری راست است لذا دارای ایده آل دوطرفه پوچتوان ماکسیمالی مانند
$N $است. قرار می دهیم $B= \frac{R}{N} $ پس $0$ تنها ایده آل پوچتوان در $B $ است. نشان خواهیم داد $0$ تنها ایده آل پوچ چپ در $ B $ نیز است.
فرض خلف: فرض کنید $B $ دارای ایده آل پوچ غیر صفری مانند $ \Gamma $ است. از آنجایی که $ B$ یک ایده آل نوتری راست است، مجموعه ایده آلهای راست پوچ $ r_{B}(x) $ که $0 \neq x \in \Gamma $ دارای عضو ماکسیمال است فرض کنید این عضو ماکسیمال $ r_{B}(y) $ باشد.
فرض کنید $ b \in B $ که $by \neq 0 $، از آنجایی که $ \Gamma $ یک ایده آل پوچ است لذا یک $ n $ وجود دارد که
$ (by)^{n+1} =0$ و $ (by)^{n} \neq 0$. واضح است که
$ r_{B}(y) \subseteq r_{B}(by) \subseteq r_{B}((by)^{n})$ و از ماکسیمال بودن نتیجه می شود که $ r_{B}((by)^{n})=r_{B}(y) $ پس $yby=0$ پس $ (ByB)^{2}=0 $ لذا باید $ y=0 $ و این تناقض است.
پس اگر $L $ یک ایده آل پوچ چپ $R $ باشد آنگاه $ \frac{N+L}{N} =0$ یعنی $ L \subseteq N $ پس $N $ شامل تمام ایده آل های پوچ $ R $ است.
فرض کنید $x \in R $ و فرض کنید $Rx $ ایده آل پوچ چپ باشد. پس برای هر $ a \in R $ خواهیم داشت $ (ax)^{n} =0 $ بنابراین
$ (xa)^{n+1} =0 $ بنابراین $ xR$ یک ایده آل پوچ راست نیز است لذا $ N $ شامل تمام ایده آل های پوچ راست نیز است. از آنجایی که $ N $ پوچتوان است لذا هر ایده آل یک طرفه پوچ،پوچ توان است.
