اگر $f,g$ روی گویها یکسان باشند در اینصورت $f$ نیز اندازه پذیر است.

Question

فرض کنید $f:(0,1)\to \mathbb R$ به گونه ای باشد که برای هر $x\in(0,1)$ یک $r>0$ و تابع بورل اندازه پذیر $g$ موجود باشند،که هر دو وابسه به $x$ هستند، به طوریکه $f$ و $g$ روی $B(x,r)$ یکسان باشند. ثابت کنید $f$ اندازه پذیر بورل است.

Answer 1

بنابر فرض مساله به ازای هر $x\in (0,1)$ یک $r_x>0$ و تابع بورل اندازه پذیر$g_x$ موجودند به طوریکه $f|_{B(x,r_x)}=g_x|_{B(x,r_x)}$ .

از آنجا که $(0,1)=\bigcup_{x\in(0,1)}B(x,r_x)$ پس بنابرقضیه پوششی لیندلف یک زیرپوشش شمارا به صورت $(0,1)=\bigcup_{i=1}^\infty B(x_i,r_{x_i})$ موجود است.

برای نشان دادن اینکه $f$ بورل اندازه پذیر است باید نشان دهیم به ازای هر $r\in\mathbb R$ مجموعه $ \{x:f(x)>r\}$ یک مجموعه بورل اندازه پذیر است.

اما داریم $$\begin{align}\{x:f(x)>r\}&=\{x:f(x)>r\}\cap(0,1)\\ &=\{x:f(x)>r\}\cap\bigcup_{i=1}^\infty B(x_i,r_{x_i})\\ &=\bigcup_{i=1}^\infty\{x:f(x)> r\}\cap B(x_i,r_{x_i})\\ &=\bigcup_{i=1}^\infty\{x:g_{x_i}(x)>r\}\cap B(x_i,r_{x_i})\end{align}$$ ولی بنابرفرض $g_x$ ها اندازه پذیراند لذا مجموعه های $ \{x:g_{x_i}(x)>r\}\cap B(x_i,r_{x_i}) $ بورل اندازه پذیراند و اجتماع شمارای آنها هم بورل اندازه پذیر است. یعنی ثابت کردیم $\{x:f(x)>r\}$ بورل اندازه پذیر است ، پس حکم ثابت شد.