Question

هرتابع حقیقی مقدار اندازه پذیر را می توان به صورت تفاضل دو تابع مثبت اندازه پذیر نوشت

هرگاه $F:X \to \mathbb R$ داده شده باشد .

ثابت کنید: $F=F^+-F^-$

Answer 1

خوب چیزی که من میبینم خودتون جواب رو نوشتید.

یعنی اگر $f^+(x)=\max\{0,f(x)\}$ و $f^-(x)=\max\{0,-f(x)\}$ در اینصورت $f^+,f^-$ اندازه پذیرند و داریم $f(x)=f^+(x)-f^-(x)$.(اینکه چرا اینتساوی برقراره کافیه حالات مختلف مثب و منفی وصفر بودن $f(x)$ رو در نظر بگیرید)

در حالت کلی ماکسیمم دو تابع اندازه پذیر تابعی اندازه پذیر است. فرض کنید $f,g$ اندازه پذیر باشند در اینصورت کافی است توجه کنید که برای هر $a\in\mathbb R$ داریم

$$\{x:\max\{f,g\}>a\}=\{x:f(x)>a\}\cup\{x:g(x)>a\}$$ و اجتماع مجوعه های اندازه پذیر مجموعه ای اندازه پذیر است. بنابراین ماکسیمم این دو تابع خود تابعی اندازه پذیر است.