در شکل M چند است؟

Question

درشکل زیرA=110 و BM و CM نیمسازند.زاویه M چند است؟

Answer 1

با قرار دادن $ \hat{ABM}= \alpha $ و $ \hat{ACM}= \beta $ $$ \triangle ABC : \hat{ A } + \hat{B} + \hat{C} =110+2 \alpha + \big(180-2 \beta \big)=180 $$ $$ \rightarrow \beta - \alpha =55 $$ از اینرو $$ \triangle BCM : \hat{MBC} + \hat{M}+ \hat{MCB}= \alpha + \hat{M}+(180- \beta )=180 \rightarrow \hat{M}= \beta - \alpha =55 \ \ \Box $$

Answer 2

$$E+ C_{2} + C_{3} + B_{2} =180$$ $$E=180-( C_{2} + C_{3} + B_{2} )\tag{*}\label{*}$$ $$ C_{3} =180-( B_{1} + B_{2}-A )\tag{**}\label{**}$$ $$ C_{1} + C_{2} =A+ B_{1} + B_{2}\tag{***}\label{***} $$

با جاگذاری $\eqref{**}$ و $\eqref{***}$ در $\eqref{*}$ داریم

$$ E= \frac{A}{2} $$ $$\Rightarrow E= \frac{110}{2} =55$$

Answer 3

باتوجه به فرضیات داریم $ \widehat{ B_{1} } = \widehat{ B_{2} } $ و $\widehat{ C_{1} } = \widehat{ C_{2} } $

$\widehat{ C_{1} } $ یک زاویه خارجی مثلث $ BMC$ است پس $\widehat{ C_{1} }=\widehat{ M }+\widehat{ B_{1} } $

حال از اینکه $ \widehat{ O_{1} } = \widehat{ O_{2} } $ از مجموع زاویه در دو مثلث $ OAB$ و $ OMC $ داریم: $$ \widehat{ A } + \widehat{ B_{2} }= \widehat{ M } + \widehat{ C_{2} }= \widehat{ M } + \widehat{ C_{1} }= \widehat{ M } +\widehat{ M }+\widehat{ B_{1} } $$ $$\widehat{ A } + \widehat{ B_{2} }=2\widehat{ M }+\widehat{ B_{2} } \Rightarrow \widehat{ M }= \frac{\widehat{ A }}{2}=55 $$