در شکل M چند است؟

Question

درشکل زیرA=110 و BM و CM نیمسازند.زاویه M چند است؟

Answer 1

با قرار دادن $\hat{ABM}= \alpha$ و $\hat{ACM}= \beta$

$$\triangle ABC : \hat{ A } + \hat{B} + \hat{C} =110+2 \alpha + \big(180-2 \beta \big)=180$$ $$\rightarrow \beta - \alpha =55$$ از اینرو $$\triangle BCM : \hat{MBC} + \hat{M}+ \hat{MCB}= \alpha + \hat{M}+(180- \beta )=180 \rightarrow \hat{M}= \beta - \alpha =55 \ \ \Box$$

Answer 2

$$E+ C_{2} + C_{3} + B_{2} =180$$ $$E=180-( C_{2} + C_{3} + B_{2} )\tag{*}\label{*}$$ $$C_{3} =180-( B_{1} + B_{2}-A )\tag{**}\label{**}$$ $$C_{1} + C_{2} =A+ B_{1} + B_{2}\tag{***}\label{***}$$

با جاگذاری $\eqref{**}$ و $\eqref{***}$ در $\eqref{*}$ داریم

$$E= \frac{A}{2}$$ $$\Rightarrow E= \frac{110}{2} =55$$

Answer 3

باتوجه به فرضیات داریم $\widehat{ B_{1} } = \widehat{ B_{2} }$ و $\widehat{ C_{1} } = \widehat{ C_{2} }$

$\widehat{ C_{1} }$ یک زاویه خارجی مثلث $BMC$ است پس $\widehat{ C_{1} }=\widehat{ M }+\widehat{ B_{1} }$

حال از اینکه $\widehat{ O_{1} } = \widehat{ O_{2} }$ از مجموع زاویه در دو مثلث $OAB$ و $OMC$ داریم:

$$\widehat{ A } + \widehat{ B_{2} }= \widehat{ M } + \widehat{ C_{2} }= \widehat{ M } + \widehat{ C_{1} }= \widehat{ M } +\widehat{ M }+\widehat{ B_{1} }$$ $$\widehat{ A } + \widehat{ B_{2} }=2\widehat{ M }+\widehat{ B_{2} } \Rightarrow \widehat{ M }= \frac{\widehat{ A }}{2}=55$$