مثلث های $\triangle AMP$ و $\triangle ABC$ متشابه اند و می دانیم که نسبت مساحت ها با توان دوم نسبت تشابه برابر است. یعنی
$$\frac{S_{AMP}}{S_2}=\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=(\frac{MP}{BC})^2\tag{1}\label{1}$$
پس ما کافی است که $\frac{MP}{BC}$ را بیابیم.
اما چون $MQCP$ متوازی الاضلاع است پس $MP=QC$ لذا به دنبال $\frac{QC}{BC}$ هستیم. و داریم
$$\frac{QC}{BC}=\frac{BC-BQ}{BC}=1-\frac{BQ}{BC}\tag{*}\label{*}$$
اما مثلث های $\triangle MBQ$ و $\triangle ABC$ نیز متشابه اند لذا نسبت مساحت هایشان با توان دوم نسبت تشابه برابر است یعنی $\frac{S_{MBQ}}{S_{ABC}}=(\frac{BQ}{BC})^2$
و این یعنی $\frac{BQ}{BC}=\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}$
با جاگذاری در $\eqref{*}$ داریم $\frac{QC}{BC}=1-\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}=\frac{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}$
پس با جاگذاری در $\eqref{1}$ داریم
$$\frac{S_{AMP}}{S_2}=(\frac{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}})^2$$
لذا $$S_{AMP}=(\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1})^2$$
