از آنجایی که $ I$ دارای 3 مولد از درجه 2 است لذا $ I^{Lex}=( x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, x_{1} x_{3} ) $
از آنجایی که $ I^{Lex}$ پایدار است از قضیه الیاهو و کرویر داریم:
$ \beta_{i, i+j}= \sum_{u \in G(I)_{j}} {m(u)-1\choose{i}} $
مقادیر $i$ که معلومه از صفر شروع میشه و تا بعد تصویری ادامه می یابد. که در اینجا $i < max\{ m(u) \mid u \in G(I) \}$
اما همانطور که از سوال برمی آید برای $ j $ باید یک مینیمال مولد از درجه ی
$ j $ داشته باشیم که اینجا مولدمینیمال ها فقط از درجه $2$ هستند لذا همواره $j=2$
$$\beta_{0,0+2}= \sum_{u \in G(I)_{2}} {m(u)-1\choose{0}}=\sum_{u \in G(I)_{2}} 1=3$$
$$\beta_{1,1+2}= \sum_{u \in G(I)_{2}} {m(u)-1\choose{1}}=\sum_{u \in G(I)_{2}} m(u)-1$$
3 مولد داریم $ x_{1}^{2} $ که $m(x_{1}^{2} )=1 $
همچنین$ x_{1} x_{2} $ که $m(x_{1} x_{2} )=2 $
و در نهایت$ x_{1} x_{3} $ که $m(x_{1} x_{3} )=3 $ پس مجموع بالا برابر خواهد بود با $1-1+2-1+3-1=1+2=3$
$$\beta_{2,2+2}= \sum_{u \in G(I)_{2}} {m(u)-1\choose{2}}={0\choose{2}}+{1\choose{2}}+{2\choose{2}}=1$$
