به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
45 بازدید
در دبیرستان توسط امیرحسام
$ \frac{ 5^{10}+ 5^{11}+ 5^{12} +......+ 5^{100} }{ 5^{91}-1 } $
مرجع: کتاب مرشد

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط yedost
انتخاب شده توسط امیرحسام
 
بهترین پاسخ

$$5^{10}+ 5^{11}+ 5^{12} +......+ 5^{100} =5^{10}(1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90})$$ عبارت داخل پرانتز مجموع یک سری هندسی با $a=1$ و $q=5$ و $n=91$ است، مجموعه n جمله یک سری هندسی از رابطه $a \frac{1- q^{n} }{1-q}$ به دست می آید. بنابراین:

$$1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90}=1. \frac{1-5^{91}}{1-5} = \frac{5^{91}-1}{4}$$ $$ \Rightarrow 5^{10}(1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90})=5^{10}. \frac{5^{91}-1}{4}$$ با جایگذاری در رابطه اصلی داریم: $$4.\frac{ 5^{10}+ 5^{11}+ 5^{12} +......+ 5^{100} }{ 5^{91}-1 }= \frac{4(5^{10})(5^{91}-1 )}{4(5^{91}-1)}=5^{10} $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...