$$5^{10}+ 5^{11}+ 5^{12} +......+ 5^{100} =5^{10}(1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90})$$
عبارت داخل پرانتز مجموع یک سری هندسی با $a=1$ و $q=5$ و $n=91$ است، مجموعه n جمله یک سری هندسی از رابطه $a \frac{1- q^{n} }{1-q}$
به دست می آید. بنابراین:
$$1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90}=1. \frac{1-5^{91}}{1-5} = \frac{5^{91}-1}{4}$$
$$ \Rightarrow 5^{10}(1+5^{1}+5^{2}+...+5^{90})=5^{10}. \frac{5^{91}-1}{4}$$
با جایگذاری در رابطه اصلی داریم:
$$4.\frac{ 5^{10}+ 5^{11}+ 5^{12} +......+ 5^{100} }{ 5^{91}-1 }= \frac{4(5^{10})(5^{91}-1 )}{4(5^{91}-1)}=5^{10} $$
