نمونه ای بیاورید که جمع $\sum$ نتواند از انتگرال $\int$ عبور کند.

Question

مثالی بزنید که نشان دهد انتگرال جمع یعنی $\int\sum$ با جمع انتگرال یعنی $\sum\int$ برابر نباشد.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

اگر دنباله توابع $f_n:[0,\infty)\to\mathbb R$ را به صورت $$f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$$ تعریف کنید در اینصورت توجه کنید که چون $x>0$ لذا $0< e^{-x}< 1$ و $0< e^{-2x}< 1$و داریم $$\begin{align}\int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)&=\int_0^\infty(\sum_1^\infty(e^{-x})^n-\sum_1^\infty(e^{-2x})^n)dx\\ &=\int_0^\infty(\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}})-(\frac{e^{-2x}}{1-e^{-2x}})dx\\ &=\frac{\ln 2}{2}\end{align}$$ زیرا با قرار دادن $e^{-x}=t$ داریم $\int_0^\infty (\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}})dx=\int_0^1\frac{1}{1+t}dt=\ln 2$

و به همین ترتیب داریم $\int_0^\infty (\frac{e^{-2x}}{1-e^{-2x}})=\frac{\ln 2}{2} $.

از طرف دیگر داریم:

$$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty f_n(x)&=\sum_1^\infty \frac{3}{2n}=\infty\end{align}$$

Answer 2

تعریف میکنیم $ f_{n} (x) =\begin{cases} n^{2} &0 < x < \frac{1}{n} \\0 & O.w\end{cases} $ داریم $ \int_R f_{n} (x)dx= \int_0^{ \frac{1}{n} } n^{2}dx= n^{2} \times \frac{1}{n} =n $

حال قرار میدهیم $g_{1} (x)=f_{1} (x)$ و $ g_{n} (x)=f_{n} (x)-f_{n-1} (x) $ خواهیم داشت $ \sum_{i=1}^N g_{n} (x) =f_{N} (x)$ پس $ \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x) = \lim_{N \rightarrow \infty } f_{N} (x)=0$

حال آماده هستیم تا دو مقدار $ \sum_{i=1}^ \infty \int_R g_{n} (x) $ و $ \int_R \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x) $ را بیابیم و با هم مقایسه کنیم. $$ \int_R \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x)= \int_R 0=0$$ $$ \sum_{i=1}^ \infty \int_R g_{n} (x) =\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n} (x)-f_{n-1} (x)=\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n} (x) $$ $$-\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n-1} (x)=\sum_{i=1}^ \infty n-(n-1)=\sum_{i=1}^ \infty 1$$ پس این دو برابر نیستند.

Answer 3

$$ \int \sum_1^n x= \int \frac{n(n+1)}{2}= \frac{1}{2}( \frac{ n^{3} }{3} + \frac{ n^{2} }{2} ) $$

$$ \sum_1^n \int x= \sum_1^n\frac{ x^{2} }{2}= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)=\frac{1}{2}(2 n^{3} +3n^{2}+n ) $$ همانطور که می بینید جواب دو عبارت به دست آمده با هم برابر نیست.

Comments

@yedost
برای تعداد متناهی میشه جای سیگما و انتگرال رو عوض کرد و این خاصیت انتگرال هست یعنی $\int_a^b\sum_1^n f_i(x)=\int_a^b(f_1(x)+...+f_n(x))dx=\int_a^b f_1(x)+...+\int_a^b f_n(x)=\sum_1^n\int_a^b f_i(x)dx$
مشکل اینه که در حالت سری نامتناهی این مطلب همواره درست نیست(در شرایط خاص درسته)
یعنی ما نمیتونیم همیشه نتیجه بگیریم
 $\int_a^b\sum_1^\infty f_n(x)=\sum_1^\infty\int_a^b f_n(x)$
(که erfanm یک مثال اوردن)
در اینجا شما در نمادگذاری دچار اشتباه شدید. یعنی شما دنباله توابع $f_n(x)$ رو هم به عنوان اندیس سیگما هم به عنوان متغیر انتگرال گیری در نظر گرفتید.

---

yedost@
ببخشید متوجه اشتباهی که در جواب وجود داره نشدم!!

---

@yedost
شما نوشتید $\int\sum_1^n x$ خوب در اینجا $x$ رو اندیس گرفتید که تغییر می کنه و نوشتید $\int \frac{n(n+1)}2$ خوب حالا متغیر انتگرال گیری چیه؟ شما $n$ رو گرفتید متغیر انتگرال گیری در حالیکه $n$ کران بالای سیگمای $\sum_1^n x$ گرفته بودید!
بعد در پایین نوشتید $\sum_1^n \int x$ بعد متغیر انتگرال رو در اینجا $x$ گرفتید و نوشتید $\sum_1^n \frac{x^2}2$ بعد در اینجا باز هم $x$ رو اندیس سیگما در نظر گرفتید! و مجموع سیگما رو به دست آوردید.
شما می خواید نشون بدید $\sum_{i=1}^n\int f_i(x)dx\neq \int\sum_{i=1}^n f_i(x)dx$ یعنی در دنباله توابع $f_i(x)$ متغیر انتگرالگیری $x$ و اندیس هم $i$ . دیگه نباید این دو رو بجای هم استفاده کنید.
و همونطور که گفتم این چیزی که میخواید ثابت کنید اصلا امکان نداره چون در حالت متناهی برابر هستند. تنها مشکل وقتی پیش میاد که سری نامتناهی باشه.

---

@yedost متغیر انتگرال‌گیری را صریحا بنویسید ${rm d}$ نسبت به چه؟ $x$ یا $n$، نسبت به هر کدام که هست در انتگرال دیگرهم نسبت به همان بگیرید. ننوشتن جزئیات نمادها گاهی باعث می‌شود که مانند اینجا اشتباه‌های این چنینی انجام بدهید. در این مثال شما تنها در حال جابجا کردن ترتیب $\int$ و $\sum$ نیستید بلکه در حال تغییر دادن متغیرهایشان هم هستید که خواستهٔ پرسش نیست. دیدگاه‌های @fardina را به دقت بخوانید. @MK90