ابتدا توان های صحیح مثبت عدد حقیقی $a$ را می دانیم که به صورت
$$a^n= \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n-times}$$
تعریف می شوند.
سپس برای $a\neq 0$ توان صفر را به صورت $a^0=1$ بیان میکنیم.(برای وقتی پایه و توان هر دو صفر باشند باید بحث طولانتری بشه و حالت گسسته و حدی در نظر گرفته بشه)
و توان های منفی عدد حقیقی غیر صفر $a$ رو به صورت $$a^{-n}=\frac 1{a^n}$$
بیان می کنیم.
و بعد از این ریشه $n$-ام عدد حقیقی $x$ را( که $n$ عدد طبیعی است) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
ریشه $n$ ام عدد حقیقی $x$ که با $\sqrt[n]x$ یا $x^{\frac 1n}$ نمایش می دهیم برابر است با عدد حقیقی $r$ که در معادله $r^n=x$ صدق کند.
طبق قرار داد در صورتی که $n$ زوج و $x$ مثبت باشد $\sqrt[n]x$ را برابر ریشه مثبت یکتای معادله فوق می گیریم. یعنی مثلا $\sqrt[2]4$ چون معادله $x^2=4$ دارای دو ریشه $\pm 2$ است ما رادیکال را برابر ریشه مثبت تعریف می کنیم $\sqrt[2]4=2$ .
و سپس برای توان های گویای $\frac mn$ ابتدا آن را ساده می کنیم تا $(m,n)=1$ و می توانیم $m$ را عدد صحیح و $n$ را عدد صحیح مثبت در نظر گرفت در اینصورت $x^{\frac mn}$ برابر است با $\sqrt[n]{x^m}$ یعنی برابر است با ریشه $n$ام عدد حقیقی $x^m$.( در بالا هم گفتیم که ریشه $n$ام چطور تعریف می شود.)
بنابراین خودتان باید الان نتیجه بگیرید که چنانچه $n$ زوج و $x$ منفی و $m$ فرد باشد در اینصورت زیر رادیکال به فرجه زوج عدد منفی قرار می گیرد که تعریف نشده است(ریشه حقیقی وجود ندارد).
. نکته مهم دیگری که باید دقت کنید اینه که وقتی ما یک تعریف رو(در اینجا تعریف توان) می خوایم گسترش بدیم باید طوری این کار صورت بگیره که قواعدی که برای حالت توان های مثبت برقرار بود همچنان برای توان های گویا یا گنگ هم برقرار بماند.
به عنوان مثال قاعده ای که برای توانهای مثبت داشتیم این بود:
$$(a^m)^n=a^{m\times n}$$
اما با یک مثال نشان می دهیم که این قاعده برای توان های گویا که پایه منفی دارند برقرار نیست:
$$-3=((-3)^{2} )^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{(-3)^{2} } = \sqrt{9} =3$$
بنابراین چنانچه بخواهیم همچنان قواعد توان پابرجا بمانند باید تون های گویا را فقط برای پایه های مثبت تعریف کنیم(اگرچه همانطور که گفتیم توان های گویا برای هر عدد حقیقی قابل تعریف است)
و در نهایت توانهای گنگ را می توان فقط برای پایه های مثبت تعریف کنیم:
اگر $a>0$ و $x$ یک عدد گنگ باشد در اینصورت می دانیم که دنباله ای از اعداد گویا مثل $r_n$ وجود دارد که $\lim_{n\to\infty}r_n=x$ در اینصورت تعریف می کنیم $$a^x=\lim_{n\to\infty}a^{r_n}$$ . توجه کنید که این تعریف مستقل از انتخاب دنباله است.
دلیل اینکه توان گویا را فقط برای پایه های مثبت تعریف می کنیم این است که چنانچه $a$ منفی باشد در اینصورت حد بالا که گفتم در حالت کلی ممکنه که وجود نداشته باشد و یا در صورت وجود بستگی به دنباله ای داشته باشد که انتخاب می کنیم. مثلا فرض کنید برای $(-2)^{\sqrt 2}$ بخواهیم با دنباله بسط $\sqrt 2$ یعنی $r_n=1.4,1.41,1.414,...$ به $\sqrt 2$ نزدیک شویم در ایصورت بعضی از توانهای $ (-2)^{r_n} $ تعریف نشده اند مثل $(-2)^{1.41}=(-2)^{\frac {141}{100}}$ یعنی نمی توانیم از این دنباله استفاده کنیم و لذا به انتخاب دنباله بستگی دارد.
