این سوال مثالی از تابعی هست که انتگرال های مکرر وجود دارند و برابرند ولی انتگرال دو گانه موجود نیست.
برای نشان دادن اینکه انتگرالهای مکرر مجمودند و برابرند به این صورت عمل میکنیم:
$$I=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\sin y dxdy=\int_0^\infty\sin y(\int_0^\infty e^{-xy}\sin xdx)dy$$
اگر $\int_0^\infty e^{-xy}\sin x dx$ را با انتگرال گیری جز به جز حساب کنید خواهیم داشت $\int_0^\infty e^{-xy}\sin x dx=\frac{1}{1+y^2}$ (چرا؟)
و لذا $I=\int_0^\infty\frac{\sin y}{1+y^2}dy$ این انتگرال رو نمیتونیم بر حسب توابع مقدماتی یک تابع اولیه براش پیدا کنیم. ولی واضحه که انتگرال پذیر است زیرا:
$$|\int_0^\infty\frac{\sin y}{1+y^2}dy|\leq \int_0^\infty |\frac{\sin y}{1+y^2}dy\leq \int_0^\infty \frac 1{1+y^2}dy=\tan^{-1}x|^\infty_0=\frac\pi 2$$
و بنا بر تقارنی که وجود دارد به دلیل مشابه واضح است که $\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\sin y dydx$ نیز وجود دارد.
حال ثابت می کنیم انتگرال دوگانه $e^{-xy}\sin x\sin y$ موجود نیست.
توجه کنید که تعریف انتگرال پذیری لبگ تابع اندازه پذیر $f$ به معنای متناهی بودن $\int |f|$ است. اما ما حالا ثابت می کنیم انتگرال قدر مطلق بی نهایت می شود و یک تناقض خواهد بود.
به برهان خلف فرض کنیم انتگرال دوگانه $e^{-xy}\sin x\sin y $ موجود باشد یعنی $ \iint_{R^2}|e^{-xy}\sin x\sin y |dx\times dy< \infty $
اما داریم
$$\begin{align}\int_0^\infty\int_0^\infty |e^{-xy}\sin x\sin y|dxdy&=\int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi y}e^{-xy}|\sin x||\sin y|dxdy\\
&\geq \int_0^\infty \sum_0^\infty e^{-(k+1)\pi y}\frac \pi 3|\sin y| dy\\
&=\sum_0^\infty \int_0^\infty \frac\pi 3 e^{-(k+1)\pi y}|\sin y|dy\\
&= \sum_{k=0}^\infty\sum_{k'=0}^\infty \int_{k'\pi}^{(k'+1)\pi}\frac\pi 3 e^{-(k+1)\pi y}|\sin y|dy\\
&\geq \sum_{k=0}^\infty\sum_{k'=0}^\infty \frac\pi 3e^{-(k+1)(k'+1)\pi^2}\frac\pi 3\\
&=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty\sum_{k'=1}^\infty e^{-(k+1)(k'+1)\pi^2}\\
&=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(k+1)\pi^2}}{e^{(k+1)\pi^2}-1}\\
&=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(k+1)\pi^2}-1+1}{e^{(k+1)\pi^2}-1}\\
&=(\frac\pi 3)^2(\sum_{k=1}^\infty 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{(k+1)\pi^2}-1}) \end{align}$$
هر یک از سریهای بالا مثبت اند و از جمله $\sum_0^\infty 1=\infty$ بنابراین انتگرال دو گانه برابر بی نهایت شد که با فرض خلف در تناقض است.
توجه کنید که در استلال بالا از این مطلب استفاده کرده ایم که تابع $e^{-x}$ نزولی است لذا در بازه $(k\pi,(k+1)\pi)$ از $e^{-(k+1)\pi}$ بزرگتر است و همچنین در این بازه داریم
$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|dx\geq \int_{k\pi+\frac \pi 6}^{(k+1)\pi-\frac \pi 6}|\sin x|dx\geq \int_{k\pi+\frac \pi 6}^{(k+1)\pi-\frac \pi 6}\frac 12dx=\frac \pi 3$$
