فرض کنید$S \subseteq R$ و $S$ و$R$ یکدار باشند.اگر$S+J(R)=R$ثابت کنید$1_{s} = 1_{R} $

Question

فرض کنید $S \subseteq R$ و $S$ و $R$ یکدار باشند و به علاوه $S+J(R)=R$. ثابت کنید $1_{s} = 1_{R} $

Answer 1

اگر ثابت کنیم $1_{R} \in S $ آنگاه این همان عنصر یک در $S $ خواهد بود و اثبات تمام می شود.

میدانیم $1_{R} \in R=S+J(R) $ پس وجود دارند $ s \in S $ و $ t \in J(R) $ که $1_{R}=s+t $

بنابر تعریف از اینکه $t \in J(R) $ داریم به ازای هر عضو از $ R $ مانند $ a $ عنصر $ 1_{R}-at $ وارون پذیر است(در حلقه جابجایی) پس برای $ 1_{R} \in R $ داریم عنصر $1_{R}-1_{R}t=s $ وارونپذیر است و در $ S $ قرار دارد پس $ 1_{R} \in S $.