از آنجایی $ A $ و $B $ را میتوان به عنوان $ F $ مدول در نظر گرفت پس $A \otimes B $ نیز یک $ F $ مدول است و اگر ساختار ضربی را به صورت $(a \otimes b ) (a^{'} \otimes b^{'})=aa^{'} \otimes b b^{'}$ تعریف کنیم میتوان آن را به خاطر خطی بودن به کل $ $ بسط داد.
این ضرب دارای عنصر یک به صورت $1_{A} \otimes 1_{B} $ است. به وضوح دو خطی، شرکت پذیر ویکانی است.
شرکت پذیری:
سه عضو دلخواه $ \sum_i a_{i} \otimes b_{i} $ و $ \sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j} $ و $\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} $ را در نظر میگیریم داریم:
$$[( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j})] (\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} )=( \sum_j \sum_i (a_{i}a^{'}_{j} \otimes b_{i} b^{'}_{j}))(\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} )$$
$$=\sum_k \sum_j \sum_i (a_{i}a^{'}_{j} a^{''}_{k} \otimes b_{i} b^{'}_{j}b^{''}_{k})=\sum_i \sum_k \sum_j (a_{i}a^{'}_{j} a^{''}_{k} \otimes b_{i} b^{'}_{j}b^{''}_{k}) $$
$$=( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} )[( \sum_k \sum_j (a^{'}_{i}a^{''}_{j} \otimes b^{'}_{i} b^{''}_{j}))]=(\sum_i a_{i} \otimes b_{i} )[ (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j})(\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} )]$$
توزیع پذیری:
سه عضو دلخواه $ \sum_i a_{i} \otimes b_{i} $ و $ \sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j} $ و $\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} $ را در نظر میگیریم داریم:
$$( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) [(\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j}) + (\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} )]$$
طبق خواص ضرب تانسوری برابر است با:
$$( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j}) + ( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_k a^{''}_{k} \otimes b^{''}_{k} )$$
همگنی: فرض کنید $f \in F$ داریم:
$$ f[( \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j})]=f( \sum_j \sum_i (a_{i}a^{'}_{j} \otimes b_{i} b^{'}_{j}))$$
طبق خاصیت تانسور داریم:
$$f( \sum_j \sum_i (a_{i}a^{'}_{j} \otimes b_{i} b^{'}_{j}))=( \sum_j \sum_i (fa_{i}a^{'}_{j} \otimes b_{i} b^{'}_{j}))=( \sum_i fa_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j})=(f \sum_i a_{i} \otimes b_{i} ) (\sum_j a^{'}_{j} \otimes b^{'}_{j})$$
