$\require{AMScd}$
برای اثبات انژکتیو بودن از تعریف معادل یعنی نشان می دهیم به ازای هر نمودار از $ R $همریختی ها و $R $ مدولها مانند
$$ \begin{CD} 0 @>>> M @>g>> N \\ \ @VfVV\\ \end{CD} $$
$$E$$
که سطر آن دقیق است ، $R $همریختی مانند $ \varphi :N \rightarrow E $ موجود است که نمودار را جابه جا میکند.
قرار می دهیم:
$$\sum=\{( N^{'}, \varphi ): f= \varphi g \ \ \ , \varphi : N^{'} \rightarrow E \ \ \ ,Im(g) \leq N^{'} \leq N \} $$چون $ g$ یک $ R$همریختی یک به یک است، $ f g^{-1}:Im(g) \rightarrow E $هم یک $ R$همریختی است. در نتیجه $(Im(g), f g^{-1} ) $ در $ \sum $ است، پس $ \sum $ مجموعه ای ناتهی است. اکنون رابطه ی $ \leq $ را روی $ \sum $ به این صورت تعریف میکنیم که:
$$ ( N_{1}, \varphi_{1} ) \leq ( N_{2}, \varphi_{2} ) \Longleftrightarrow N_{1} \subseteq N_{2}, \ \ \ {\varphi_{2}}_{ \mid _{N_{1}}} = \varphi_{1}$$
به راحتی می توان نشان داد که رابطه ی $ \leq $ یک رابطه ی ترتیب جزئی روی $ \sum $ است. و به راحتی میتوان نشان داد هر زنجیر دارای کران بالا در $ \sum $ است. پس بنا بر لم زرن $ \sum $ دارای عضو ماکسیمالی مانند $ ( N_{0}, \varphi ) $ است. حال نشان می دهیم که $ N_{0} =N$ . اگر چنین نباشد یعنی $ N_{0} \subsetneq N$، عضوی از $ N $ مانند $ a $ وجود دارد که در $N_{0} $ نیست، قرار میدهیم $ I=\{r \in R : ra \in N_{0} \}$، داریم $I $ ایده آل چپی از $R $ است. حال تابع $ \psi :I \rightarrow E $ را به صورت $$ \psi (r)= \varphi (ra) $$ تعریف می کنیم در نتیجه طبق فرض $ \overline{ \psi } :R \rightarrow E $ وجود دارد که ${ \overline{ \psi }}_{ \mid _{I}} = \psi $ قرار میدهیم $ \overline{N}= N_{0} +Ra $ از آنجایی که $ a $در $ N_{0} $ نیست پس $ N_{0} \subsetneq \overline{N}$. از طرفی $ \overline{ \varphi }:\overline{N} \rightarrow E $ که $\overline{ \varphi }( n_{0} +ra)= \varphi ( n_{0})+r \overline{ \psi }(1) $ را تعریف می کنیم. و خوش تعریف است(چرا؟}.
داریم: $ { \overline{ \varphi }}_{ \mid _{N_{0}}} = \varphi$ پس نتیجه میدهد که
$( N_{0}, \varphi ) \lneqq ( \overline{N}, \overline{ \varphi } )$ اما $( N_{0}, \varphi )$ ماکسیمال بود و این تناقض است پس باید $ N_{0} =N$ و این بدان معنی است که $ \varphi :N \rightarrow E$ دارای این ویژگی است که $ \varphi g=f$ لذا نمودار را جابهجا میکند.
