به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
59 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

اگر $M$ و $N$با تولید متناهی باشند آیا $ Hom(M,N) $ با تولید متناهی است؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

لزومی ندارد. در واقع شرط نوتری بودن حلقه $R$ لازم است.( مثال پس از اثبات قضیه اصلی)

قضیه:فرض کنید $R $ یک حلقه نوتری و $ M $ و $ N $ دو $ R $ مدول با تولید متناهی باشند آنگاه $Hom_{R} (M,N) $ یک $ R $ با تولید متناهی است.

اثبات:از آنجایی که $ M $ با تولید متناهی است لذا یک $ k $ وجود دارد که $ M $ با خارج قسمتی از $ R^{k} $ یکریخت است یعنی $M \cong \frac{ R^{k} }{L} $ پس $Hom_{R} (M,N) \cong Hom_{R} (\frac{ R^{k} }{L} ,N) $.

اعضای $ Hom_{R} (\frac{ R^{k} }{L} ,N) $ نگاشتهای $ R $ خطی از $ \frac{ R^{k} }{L} $ به $ N $ هستند. در واقع معادل هستند با نگاشتهای از $ R^{k} $ به $ N $ که روی $ L $ صفر هستند. مجموعه ی چنین نگاشتهایی یک زیر مدول از $Hom_{R} ( R^{k},N) $ است. لذا $Hom_{R} ( M,N) $ را می توان در $ Hom_{R} ( R^{k},N) $ نشاند.

با تعریف $ f \longmapsto (f( e_{1} ,f( e_{2} ),...,f( e_{k} )) $ داریم $Hom_{R} ( R^{k},N) \cong N^{k} $. و چون $ N $ با تولید متناهی است لذا $ N^{k}$ نیز با تولید متناهی است و چون $ R $ نوتری است لذا $ N^{k} $ نیز $ R $ مدولی نوتری است پس تمام زیر مدولهای آن با تولید متناهی خواهند بود. پس تمام زیر مدولهای $Hom_{R} ( R^{k},N) \cong N^{k}$ نیز با تولید متناهی است و حکم ثابت شد.

اما شرط نوتری بودن را نمی توان حذف کرد. برای هر ایده آل $ I $ داریم: $ Hom_{R} (\frac{ R }{I} ,R) \cong \{ r \in R : rI=0 \} $ پس اگر مثالی را بیاوریم که $ \{ r \in R : rI=0 \}$ با تولید متناهی نباشد آنگاه این یک مثال نقض خواهد بود( $ R $ و $ \frac{ R }{I} $ هر دو با تولید متناهی هستند چون توسط $1$ تولید می شوند.)

مثال: قرار دهید $ R=\frac{ K[ x_{1} , x_{2} ,...] }{(..., x_{i} x_{j} ,...)} $ و $ I $ را ایده آلی شامل $f+(..., x_{i} x_{j} ,...) $ها که مقدار ثابت چند جمله ای $f$ صفر باشد بگیرید. آنگاه $ fI=0 $ اگر و تنها اگر جمله ی ثابت $ f$صفر باشد. پس $ \{ r \in R : rI=0 \}=I $ و به راحتی میتوان نشان داد که $ I$ با تولید متناهی نیست.

دارای دیدگاه توسط
منبع:
$NOETHERIAN   \ MODULES
\ by \ \ KEITH \ \ CONRAD$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...