اگر $f_n$ دنباله ای از توابع مشخصه که در $L^p$ به $f$ همگراست در اینصورت $f$ هم تقریبا همه جا برابر یک تابع مشخصه است.

Question

اگر $ \big(f_{n} ) $ دنباله ای از توابع مشخصه از مجموعه ها در $A_{x} $ باشد بطوری که دنباله $ \big( f_{n} ) $ همگرا در $ L_{p} $ به $f$شود نشان دهید $f$ (تقریبا همه جا مساوی) تابع مشخصه ای از یک مجموعه در $A_{x} $ است

$ A_{x } $ سیگما جبر است

Comments

-1 امتیاز برای ننوشتن عنوان درست.
سوال از کدام کتاب بود؟

Answer 1

چون $f_n\overset{L^p}\to f$ بنابراین زیر دنباله ای از آن موجود است که تقریبا همه جا به $f$ همگراست یعنی $f_{n_k}\overset{a.e}\to f$ . اما چون به ازای هر $x$ داریم $f_n(x)=0$ یا $f_n(x)=1$ بنابراین تقریبا همه جا $f(x)=0$ یا $f(x)=1$ .

اگر قرار دهیم $E=f^{-1}(\{1\})$ در اینصورت $f=\chi_E$ تقریبا همه جا.