Question

عدد $-14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12}$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

Answer 1

دقیقا متوجه منظور شما شدم راه حل جدید و کاملی که خودم پیدا کردم برای این موضوع بصورت زیر هست :

داریم :

$3< \sqrt{12} < 4$

و

$3< \sqrt{15} < 4$

نکته ای که اینجا باید توجه کنیم این است که محدوده ها درست است اما هدف ما بدست آوردن کوچکترین محدوده است که هنگام ضرب یا جمع محدوده بین دو عدد صحیح متوالی قرار گیرد پس دو رابطه بالا درست میباشد اما هدف بدست آوردن کوچکترین محدوده است . مینویسیم :

$(1) \rightarrow a< \sqrt{12} < b$

و

$(2) \rightarrow c< \sqrt{15} < d$

رابطه 1 و 2 را به توان دو میرسانیم داریم :

$a^{2}< 12 < b^{2}$

و

$c^{2}< 15 < d^{2}$

و رابطه 1 را در رابطه 2 ضرب میکنیم :

$ac< \sqrt{12} \times \sqrt{15} < bd$

دقت کنید ضرب رادیکال 12 در رادیکال 15 برابر با رادیکال 180 میشود که بین دو عدد 13 و 14 قرار دارد.

از این نابرابری ها میتوانیم نتیجه بگیریم که :

$a^{2}=11 , b^{2}=13 , c^{2}=14 , d^{2}=16 , ac=13 , bd=14$

صورت مسئله جمع دو رادیکال را مطرح کرده پس :

$a+c< \sqrt{12} + \sqrt{15} < b+d$

حالا کافیست a+c و b+d را به کمک اتحاد بدست آوریم :

$(a+c)^{2}=(a)^{2}+2ac+(c)^{2}$

و

$(b+d)^{2}=(b)^{2}+2bd+(d)^{2}$

مقادیر را قبلا بدست آورده ایم پس در روابط بالا جایگذاری میکنیم نتیجه :

$(a+c)^{2}=51 \Rightarrow a+c= \sqrt{51}$

و

$(b+d)^{2}=57 \Rightarrow b+d= \sqrt{57}$

پس :

$\sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$

حالا باید ببینیم رادیکال 51 و رادیکال 57 بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارند:

$7< \sqrt{51} < 8$

و

$7< \sqrt{57} < 8$

هر دو بین 7 و 8 قرار دارند پس جمع دو رادیکال 12 و 15 هم بین این دو عدد قرار دارد :

$7< \sqrt{12}+\sqrt{15} < 8$

دقت کنید جمع هر تعداد رادیکال که مسئله از ما بخواهد باید اتحاد تشکیل دهیم. اگر دو رادیکال بود اتحاد مربع دو جمله ای شبیه این مسئله اگر سه رادیکال بود اتحاد مربع سه جمله ای اگر n رادیکال بود اتحاد مربع n جمله ای ........... سوالی بود در خدمتم

Comments

$\frac{13}{3}$ بیشتر از 4 است یعنی عبارت
$\frac{13}{3} < \sqrt{15} < 4$
صحیح نیست. از طرفی چطور یک سمت رابطه رو در یک عدد ضرب کردین؟

---

بله درسته
اصلاح شد

---

ممنون از پاسخ کاملتون.
ولی وقتی دو رادیکال بین دو عدد قرار دارند حاصل جمع آنها که بین همان دو عدد قرار ندارد.
مثلا رایکال 51 تقریبا برابراست با $7.14$ و رادیکال 57تقریبا برابراست با$7.5$، حاصل جمغ این دو رادیکال تقریبا14.6 می شود که بین 7 و 8 نیست.
کافی است بگوییم رادیکال 51 بزرگتر از 7 و رادیکال 57 کوچکتر از 8 است پس:
$\sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$
بین 7 و 8 قرار دارد.
با اصلاح این جمله پاسخ شما بهترین پاسخ خواهد بود.

---

خواهش میکنم
منظور من از جمع دو رادیکال جمع رادیکال 12 با رادیکال 15 بود نه رادیکال 51 و 57

Answer 2

$( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2}=12+15+2 \sqrt{180}=27+2 \sqrt{180}$

$180$ بین دو عدد مربع کامل $14^2=196$ و$13^2=169$ قرار دارد لذا $$13 < \sqrt{180} < 14 \Rightarrow 53 < 27+2 \sqrt{180} < 55$$

یعنی: $$53 < ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2} < 55$$ از آنجایی که می خواهیم بین دو عدد صحیح عبارت را بدست آوریم لذا با توجه به رابطه میفهمیم که $( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2}$ بین 2 عدد مربع کامل $49$ و $64$ قرار دارد( به 49 نزدیک تر است ) لذا رادیکال آن یعنی $\sqrt{12} + \sqrt{15}$ بین 7 و 8 قرار میگیرد پس داریم:

$$7 < \sqrt{12} + \sqrt{15} < 8 \Rightarrow -7 < -14+ \sqrt{12} + \sqrt{15} < -6$$

Comments

راه حل جالب و کوتاهی بود .
تفاوتش با راه حل بنده این است که محدوده بدست آمده از روش شما 53 تا 55 است و محدوده روش من 51 تا 57 بود که با این حساب شما محدوده بهتر و کوچکتری رو بدست آوردین اما جواب دو روش درست و یکی است.

Answer 3

$3+ \frac{1}{4}< \sqrt{12}< 4, 3+ \frac{3}{4}< \sqrt{15}< 4 \Longrightarrow -7< -14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12} < -6$

Answer 4

سلام داریم:

$7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} < 8$

نتیجه طرفهای نابرابری را منهای 14 میکنیم پس داریم:

$-7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} -14 < -6$

Comments

دو عدد 8-  و 6-  متوالی نیستند.

---

چرا نوشتید؟ $7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15}  < 8$

---

اول تک تک رادیکالها رو بین دو عدد قرار دهید تا ببینیم چطوری عدد 7 و 8 به دست میان؟

Answer 5

سلام...

Comments

@khashayar
گفته متوالی.

Answer 6

$$\sqrt{15} =[ \sqrt{15} ]+ p_{x} ,0 \leq p_{x} < 1$$ $$\sqrt{12} =[ \sqrt{12} ]+ p_{y},0 \leq x_{k} < 1$$ $$[ \sqrt{15} ]=[ \sqrt{12} ]=3$$ $$\sqrt{15} + \sqrt{12} =6+ p_{x} + p_{y}$$ $$\sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =6-14+ p_{x} + p_{y}$$ $$\sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =-8+ p_{x} + p_{y}$$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =[-8+ p_{x} + p_{y} ]$$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-8+[p_{x} + p_{y} ]$$ $$[p_{x} + p_{y} ]=0,if: 0\leq p_{x} + p_{y} < 1\mathbb{(غلط! چرا؟)}$$ $$[p_{x} + p_{y} ]=1,if: 1\leq p_{x} + p_{y} < 2$$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-7 \rightarrow -7 \leq \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 < -6$$