به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
2,011 بازدید
در دبیرستان توسط yedost
ویرایش شده توسط yedost

عدد $-14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12} $ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

6 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Mohsen94
ویرایش شده توسط Mohsen94
 
بهترین پاسخ

دقیقا متوجه منظور شما شدم راه حل جدید و کاملی که خودم پیدا کردم برای این موضوع بصورت زیر هست :

داریم :

$3< \sqrt{12} < 4$

و

$ 3< \sqrt{15} < 4$

نکته ای که اینجا باید توجه کنیم این است که محدوده ها درست است اما هدف ما بدست آوردن کوچکترین محدوده است که هنگام ضرب یا جمع محدوده بین دو عدد صحیح متوالی قرار گیرد پس دو رابطه بالا درست میباشد اما هدف بدست آوردن کوچکترین محدوده است . مینویسیم :

$(1) \rightarrow a< \sqrt{12} < b$

و

$(2) \rightarrow c< \sqrt{15} < d$

رابطه 1 و 2 را به توان دو میرسانیم داریم :

$a^{2}< 12 < b^{2}$

و

$c^{2}< 15 < d^{2}$

و رابطه 1 را در رابطه 2 ضرب میکنیم :

$ac< \sqrt{12} \times \sqrt{15} < bd$

دقت کنید ضرب رادیکال 12 در رادیکال 15 برابر با رادیکال 180 میشود که بین دو عدد 13 و 14 قرار دارد.

از این نابرابری ها میتوانیم نتیجه بگیریم که :

$ a^{2}=11 , b^{2}=13 , c^{2}=14 , d^{2}=16 , ac=13 , bd=14 $

صورت مسئله جمع دو رادیکال را مطرح کرده پس :

$a+c< \sqrt{12} + \sqrt{15} < b+d$

حالا کافیست a+c و b+d را به کمک اتحاد بدست آوریم :

$(a+c)^{2}=(a)^{2}+2ac+(c)^{2}$

و

$(b+d)^{2}=(b)^{2}+2bd+(d)^{2}$

مقادیر را قبلا بدست آورده ایم پس در روابط بالا جایگذاری میکنیم نتیجه :

$(a+c)^{2}=51 \Rightarrow a+c= \sqrt{51} $

و

$(b+d)^{2}=57 \Rightarrow b+d= \sqrt{57}$

پس :

$ \sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$

حالا باید ببینیم رادیکال 51 و رادیکال 57 بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارند:

$ 7< \sqrt{51} < 8$

و

$ 7< \sqrt{57} < 8$

هر دو بین 7 و 8 قرار دارند پس جمع دو رادیکال 12 و 15 هم بین این دو عدد قرار دارد :

$ 7< \sqrt{12}+\sqrt{15} < 8$

دقت کنید جمع هر تعداد رادیکال که مسئله از ما بخواهد باید اتحاد تشکیل دهیم. اگر دو رادیکال بود اتحاد مربع دو جمله ای شبیه این مسئله اگر سه رادیکال بود اتحاد مربع سه جمله ای اگر n رادیکال بود اتحاد مربع n جمله ای ........... سوالی بود در خدمتم

توسط yedost
$\frac{13}{3}$ بیشتر از 4 است یعنی عبارت
$\frac{13}{3} < \sqrt{15} < 4$
صحیح نیست. از طرفی چطور یک سمت رابطه رو در یک عدد ضرب کردین؟
توسط Mohsen94
ویرایش شده توسط Mohsen94
بله درسته
اصلاح شد
توسط yedost
ویرایش شده توسط yedost
ممنون از پاسخ کاملتون.
ولی وقتی دو رادیکال بین دو عدد قرار دارند حاصل جمع آنها که بین همان دو عدد قرار ندارد.
مثلا رایکال 51 تقریبا برابراست با $7.14$ و رادیکال 57تقریبا برابراست با$7.5$، حاصل جمغ این دو رادیکال تقریبا14.6 می شود که بین 7 و 8 نیست.
کافی است بگوییم رادیکال 51 بزرگتر از 7 و رادیکال 57 کوچکتر از 8 است پس:
$\sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$
بین 7 و 8 قرار دارد.
با اصلاح این جمله پاسخ شما بهترین پاسخ خواهد بود.
توسط Mohsen94
خواهش میکنم
منظور من از جمع دو رادیکال جمع رادیکال 12 با رادیکال 15 بود نه رادیکال 51 و 57
+4 امتیاز
توسط erfanm
$ ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2}=12+15+2 \sqrt{180}=27+2 \sqrt{180} $

$180 $ بین دو عدد مربع کامل $14^2=196$ و$13^2=169$ قرار دارد لذا $$ 13 < \sqrt{180} < 14 \Rightarrow 53 < 27+2 \sqrt{180} < 55 $$

یعنی: $$ 53 < ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2} < 55$$ از آنجایی که می خواهیم بین دو عدد صحیح عبارت را بدست آوریم لذا با توجه به رابطه میفهمیم که $ ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2} $ بین 2 عدد مربع کامل $49$ و $64$ قرار دارد( به 49 نزدیک تر است ) لذا رادیکال آن یعنی $ \sqrt{12} + \sqrt{15} $ بین 7 و 8 قرار میگیرد پس داریم:

$$7 < \sqrt{12} + \sqrt{15} < 8 \Rightarrow -7 < -14+ \sqrt{12} + \sqrt{15} < -6$$
توسط Mohsen94
+1
راه حل جالب و کوتاهی بود .
تفاوتش با راه حل بنده این است که محدوده بدست آمده از روش شما 53 تا 55 است و محدوده روش من 51 تا 57 بود که با این حساب شما محدوده بهتر و کوچکتری رو بدست آوردین اما جواب دو روش درست و یکی است.
+2 امتیاز
توسط kazomano
$3+ \frac{1}{4}< \sqrt{12}< 4, 3+ \frac{3}{4}< \sqrt{15}< 4 \Longrightarrow -7< -14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12} < -6 $
+1 امتیاز
توسط Mohsen94
ویرایش شده توسط Mohsen94

سلام داریم:

$ 7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} < 8 $

نتیجه طرفهای نابرابری را منهای 14 میکنیم پس داریم:

$ -7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} -14 < -6 $
توسط behruz
+2
دو عدد 8-  و 6-  متوالی نیستند.
توسط yedost
+1
چرا نوشتید؟ $7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15}  < 8$
توسط yedost
+1
اول تک تک رادیکالها رو بین دو عدد قرار دهید تا ببینیم چطوری عدد 7 و 8 به دست میان؟
+1 امتیاز
توسط Khashayar

سلام... enter image description here

توسط fardina
@khashayar
گفته متوالی.
+1 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط fardina
$$ \sqrt{15} =[ \sqrt{15} ]+ p_{x} ,0 \leq p_{x} < 1 $$ $$ \sqrt{12} =[ \sqrt{12} ]+ p_{y},0 \leq x_{k} < 1 $$ $$[ \sqrt{15} ]=[ \sqrt{12} ]=3$$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12} =6+ p_{x} + p_{y} $$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =6-14+ p_{x} + p_{y} $$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =-8+ p_{x} + p_{y} $$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =[-8+ p_{x} + p_{y} ]$$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-8+[p_{x} + p_{y} ]$$ $$ [p_{x} + p_{y} ]=0,if: 0\leq p_{x} + p_{y} < 1\mathbb{(غلط! چرا؟)} $$ $$ [p_{x} + p_{y} ]=1,if: 1\leq p_{x} + p_{y} < 2 $$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-7 \rightarrow -7 \leq \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 < -6 $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...