به ازای هر$0< \alpha< 1$ یک مجموعه کانتور با اندازه $\alpha$ موجود است.

Question

فرض کنید $0 < \alpha < 1 $ باشد در این صورت یک مجموعه ی کانتورمانند $P \subseteq [ 0 ,1 ] $ از اندازه ی لبگ $ \alpha $ وجود دارد . $ \lambda (p)= \alpha =1- \alpha $ .

دوستان ببخشید دو قسمت ناتهی و کراندار بودن را تونستم بنویسیم ولی در (هیچ جا چگال ) و(کامل بودن ) ماندم .

Comments

میشه اسم کتابی رو که میخونید بگید؟
اینجوری هروقت کسی سوالتونو میخونه میتونه بفهمه منبع سوال از کجاس.
الان من فکر میکنم که سوالو اشتباه نوشتین. چون $\alpha=1-\alpha$ پس باید $\alpha=\frac 12$.

---

البته استاد برای ما 4 کتب معرفی کرده ولی خودش یه جزوه تهیه کرده از ترکیب این 4 کتاب
real analysis-aliprantis

 G. B. FOLLAND, Real Analysis: Modern Techniques and Applications  (2nd  ed.), John  Wiley, New York , 1999.

    A. M. BRUCKNER, J.  B.  . BRUCKNER   AND   B.    S.    THOMSON, Real Analysis,  Prentice – Hall, Inc. , 2007

G. DE  BARRA , Measure Theory and Integration, Ellis Horwood, John  Wiley and Sons ,New York, 1981.


H.L. ROYDEN, Real Analysis (3rd   ed.) , Prentice Hall, new Jersey , 1988

W. RUDIN,  Real and Complex analysis  (3nd  ed.), McGraw- Hill, new York , 1987

---

اینا 6تا کتابه. :)
خوب سوالی که فرستادین از کدم منبعه؟
ببینید که سوالو درست نوشتین یا نه.

Answer 1

سوال درست اینه:

اگر $ 0< \alpha< 1$ ، در اینصورت مجموعه $ P\subset [0,1]$ چنان موجود است که $ \lambda(P)=\alpha $ .(منظور از $ \lambda $ اندازه لبگ است).

درست مثل ساختن مجموعه کانتور عمل می کنیم:

ابتدا مجموعه $[0,1] $ را به سه قسمت مساوی تقسیم کره و از یک سوم میانی یک بازه $ Q_1 $ به طول $\frac{\alpha}{3} $ جدا می کنیم. حالا مجموعه ی $P_1=[0,1]\setminus Q_1 $ به صورت اجتماع دو بازه است. از هر کدام از بازه ها از قسمت یک سوم میانی شان به اندازه $ \frac{\alpha}{3^2} $ جدا می کنیم. اجتماع این دو تا مجموعه باز را که جدا کردیم، با $ Q_2 $ نمایش داده و مجموعه $ P_2=[0,1]\setminus \bigcup_{i=1}^2 Q_i $ را در نظر میگیریم. اگر همین روند را ادامه دهیم مجموعه های $ Q_i $ و $ P_i $ برای هر $i $ به صورت بالا ساخته می شوند. حال اگر قرار دهیم $ P=\bigcup_{n=1}^\infty Q_n $ در اینصورت داریم: $$ \lambda(P)=\sum_{n=1}^\infty \lambda(Q_n)=\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1}\frac{\alpha}3=\alpha $$ توجه کنید که در هر مرحله $ 2^{n-1} $ تا بازه به طول $ \frac{\alpha}{3^n} $ جدا کردیم و
$ Q_n$ را ساختیم.