Question

اثبات کنید مجموع یک عدد حقیقی مثبت با معکوسش بزرگتر یا مساوی دو است.

Answer 1

فرض میکنیم تابع $f(x)= x+\frac1x$ که در آن $x>0$ با مشتق گیری از این تابع داریم :

$$ f'(x)=1-\frac1{x^2}=0 \Longrightarrow x^2=1 \Longrightarrow x=1 , -1 $$

که با توجه به مثبت بودن x مقدار 1 را که تایع f را مینیمم نیز میکند قبول میکنیم حال مقدار $f(1)=2$ مقدار مینیم تابع f به ازای x های مثبت است و این یعنی $f(x)= x+\frac1x\geq2$ به ازای هر x مثبت.

Answer 2

$$a \in R$$ $$ (a-1)^{2} \geq 0$$ $$ a^{2} - 2a+1 \geq 0$$ $$ a \neq 0$$ $$ \frac{a^{2} }{a} - \frac{2a}{a} + \frac{1}{a} \geq \frac{0}{a} $$ $$ {a} - 2 + \frac{1}{a} \geq 0$$ $$ {a} + \frac{1}{a} \geq + 2$$

Answer 3

$$\tan (x) \in \mathbb{R}$$ $$\tan(x)+ \frac{1}{\tan(x)}= $$ $$\tan(x)+ \cot (x)= $$ $$ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=$$ $$ \frac{( \sin(x))^{2} +(\cos(x))^{2} }{\sin(x).\cos(x)}= $$ $$ \frac{1}{\sin(x).\cos(x)}= $$ $$ \frac{1}{ \frac{1}{2} \sin(2x)} $$ $$-1 \leq \sin(2x) \leq 1$$ $$ \frac{-1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin(2x) \leq \frac{1}{2} $$ $$\frac{1}{ \frac{1}{2} \sin(2x)} \in (- \infty ,-2] \cup [2,+ \infty )$$ $$\tan(x)+ \frac{1}{\tan(x)} \in (- \infty ,-2] \cup [2, \infty )$$ $$if:\tan(x) > 0 \rightarrow \tan(x)+ \frac{1}{\tan(x)} \geq +2$$ $$if:\tan(x) < 0 \rightarrow \tan(x)+ \frac{1}{\tan(x)} \leq -2 $$

Comments

@saderi7
فقط باید اشاره میکردید که هر عدد حقیقی $x$ رو میتونیم به صورت $x=\tan y$ که $-\frac \pi 2 < y< \frac \pi 2$

---

@fardina
درسته همینطوره که میفرمایید.
ولی من وقتی اینو گفتم $tan(x) \in R $ راه رو باز گذاشتم که خودشون عرایض شمارو نتیجه بگیرند!!

Answer 4

البته اثبات با برهان خلف هم امکان پذیر است :

فرض میکنیم به برهان خلف x مثبتی وجود داشته باشد بطوریکه $ x+\frac1x<2 $ حال چون x مثبت است با ضرب x در طرفین نامعادله فوق داریم : $$ x^2+1<2x \Longrightarrow x^2-2x+1<0 \Longrightarrow (x-1)^2<0 $$

اما این تناقض است زیرا همواره $ (x-1)^2 \geq 0 $ و لذا حکم ثابت است.

Answer 5

درست میگید.من اشتباه کردم.جواب درست نبود.

همونطور که گفتن با فرض خلف سر آخر میرسیم به اینکه

$ (x-2)^{2}< 0 $ که تناقضه.

Comments

صورت مساله اینه که ثابت کنید به ازای هر $x$ حقیقی مثبت داریم $x+\frac 1x\geq 2$
فرض خلف میشه اینکه فرض کنیم یک $x$ حقیقی مثبت موجود باشد که $x+\frac 1x< 2$
پس اون چیزی که شما نوشتید اشتباست.

Answer 6