توابعی که روی مجموعه های کامل دوسویی باشند حافظ اندازه هستند؟

Question

میدانیم که یک مجموعه با اندازه‎ کامل‎‎‎‎ است اگر و تنها اگر مکمل آن با اندازه‌ی صفر باشد و هم چنین تابع اندازه‌پذیر $f : X \to X $ حافظ اندازه است اگر برای هر مجموعه اندازه پذیر $E $ داشته باشیم: $\begin{equation*} \mu(f^{-1}(E))=\mu(E) \end{equation*}‎$ حال سوال این است اگر تابع $f$ روی مجموعه های با اندازه کامل دوسویی باشد میتوان نتیجه گرفت که حافظ اندازه هم هست؟

Answer 1

تابع $f:\mathbb R\to \mathbb R$ روی کل $\mathbb R$ و لذا روی مجموعه های کامل دو سویی است اما حافظ اندازه لبگ نیست زیرا $m(f^{-1}(E))=\frac 12 m(E)$ برای هر مجموعه اندازه پذیر $E$ .