به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
352 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

نشان دهید که $ Q $ و $Q^c $ و مجموعه سه سه ای کانتور زیر مجموعه های بورل در $ \mathbb R $ هستند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با توجه به تعریف سیگماجبر بورل می دانیم که هر مجموعه بسته ای یک مجموعه بورل است لذا مجموعه های تک عضوی که بسته هستند مجموعه بورل می باشند. از طرفی اگر $Q=\big\{ r_1,r_2,r_3,...\big\} $ شمارشی برای مجموعه اعداد گویا باشد آنگاه $ Q=\bigcup\big\{r_n\big\} $ و چون سیگماجبرها شامل اجتماع شمارا از زیرمجموعه های خود هستند لذا $Q$ هم بورل است. و چون سیگماجبرها تحت متمم گرفتن بسته هستند لذا $Q^c$ هم بورل است. برای مجموعه کانتور هم فقط توجه کنید که مجموعه کانتور مجموعه ای بسته است لذا بورل می شود.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...