به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
450 بازدید
در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید که $ Q $ و $Q^c $ و مجموعه سه سه ای کانتور زیر مجموعه های بورل در $ \mathbb R $ هستند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina

با توجه به تعریف سیگماجبر بورل می دانیم که هر مجموعه بسته ای یک مجموعه بورل است لذا مجموعه های تک عضوی که بسته هستند مجموعه بورل می باشند. از طرفی اگر $Q=\big\{ r_1,r_2,r_3,...\big\} $ شمارشی برای مجموعه اعداد گویا باشد آنگاه $ Q=\bigcup\big\{r_n\big\} $ و چون سیگماجبرها شامل اجتماع شمارا از زیرمجموعه های خود هستند لذا $Q$ هم بورل است. و چون سیگماجبرها تحت متمم گرفتن بسته هستند لذا $Q^c$ هم بورل است. برای مجموعه کانتور هم فقط توجه کنید که مجموعه کانتور مجموعه ای بسته است لذا بورل می شود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...