Question

گوی های باز ومجموعه برل برای توپولوژی ,(z,dinfinity),(z,d1),(z,d2) که z مجموعه اعداد صحیح و d ها متریک هستند؟

Comments

میشه راجع به متریک ها توضیح بدید

---

خوب اصلا سوالتون واضح نیست چطور انتظار دارید جواب بگیرید؟!
منظورتون از $d_1,d_2,d_\infty$ چیه؟ چطوری تعریف می شوند؟
معمولا در $\mathbb R^n$ برای هر $1\leq p< \infty$ تعریف می کنیم
$d_p(x,y)=(\sum_1^n|x_i-y_i|^p)^{\frac 1p}$
و برای بی نهایت هم تعریف می کنیم
$d_\infty(x,y)=\max_{i=1,...,n}|x_i-y_i|$
منظورتون همین متریک ها روی اعداد صحیح هست؟

Answer 1

به عنوان مثال اگر مجموعه اعداد صحیح را با متریک $d_1(m, n)=|m-n|$ در نظر بگیرید در اینصورت گوی به مرکز $m$ و شعاع $n$ برابر است با $B(m,n)=\{x\in\mathbb Z: |x-m|< n\}$ و واضح است که تعداد این مجموعه برابر است با $2m+2n-1$ که فرد است. به طور مشابه می توان نشان داد که هر مجموعه ی متناهی که تعداد فردی عضو دارد را می توان به صورت یک گوی $B(m, n)$ نمایش داد(چرا؟)

حال چنانچه مجموعه ای با تعداد زوج عضو داشته باشیم می توانیم آن را به صورت اجتماع دو مجموعه ی با تعداد فرد نوشت یعنی می توان آن را به صورت اجتماع دو گوی نوشت لذا مجموعه ای باز است.

پس تا حالا مشخص شد که هر مجموعه ی متناهی یک مجموعه ی باز است. چون اجتماع شمارا از مجموعه های باز هم مجموعه ای باز است لذا هر مجموعه ای که در $\mathbb Z$ در نظر بگیرید مجموعه ای باز است.

بنابراین هر مجموعه ای بسته هم هست.

یعنی در $(\mathbb Z, d_1)$ هر مجموعه ای هم باز است و هم بسته. بنابراین هر مجموعه ای بورل است به عبارت دیگر سیگماجبر بورل اعداد صحیح برابر است با مجموعه توانی اعداد صحیح $\mathcal B_{\mathbb Z}=\mathcal P(\mathbb Z)$ .