بنابر فرض سوال داریم:
$$AB+AC+BC=12$$
و
$$AH=12$$
می خواهیم نشان دهیم:
$$BC=?$$
می دانیم در هر مثلث قائم الزاویه با توجه به شکل:
$$AH^2=BH.HC \Longrightarrow BH.HC=144~~~~ \ast$$
از طرفی می دانیم در هر مثلث قائم الزاویه با توجه به شکل اگر $S_{AH}$ را مساحت مثلث با ارتفاع $AH$ بنامیم و
$S_{AC}$ را ارتفاع مثلث با ارتفاع $AC$ بنامیم داریم:
$$S_{AH}=S_{AC} \Longrightarrow AH.BC=AB.AC \Longrightarrow 12BC=AB.AC ~~~~ \ast \ast$$
با توجه به رابطه فیثاغورث برای دو مثلث $AHB$ و $AHC$ داریم:
$$AB^2-BH^2=144$$
$$AC^2-CH^2=144$$
$$ \Downarrow $$
$$AB^2+AC^2-BH^2-CH^2=288$$
با کمک اتحادها خواهیم داشت:
(می دانیم $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$)
$$(AB+AC)^2-2AB.AC-[(BH+HC)^2-2BH.HC]=288 \Longrightarrow $$
با توجه به $\ast$ و $\ast \ast$ داریم:
$$(60-BC)^2-24BC-[BC^2-288]=288$$
با حل معادله بدست آمده داریم:
$$BC=25$$
