مثلث قائم زاویه

Question

اگر محیط مثلث قائم زاویه 60 باشد وارتفاع وارد بر وتر ان 12 باشد اندازه وتر چقدر است؟

Answer 1

بنابر فرض سوال داریم:

$$AB+AC+BC=12$$ و $$AH=12$$ می خواهیم نشان دهیم: $$BC=?$$

---

می دانیم در هر مثلث قائم الزاویه با توجه به شکل: $$AH^2=BH.HC \Longrightarrow BH.HC=144~~~~ \ast$$ از طرفی می دانیم در هر مثلث قائم الزاویه با توجه به شکل اگر $S_{AH}$ را مساحت مثلث با ارتفاع $AH$ بنامیم و $S_{AC}$ را ارتفاع مثلث با ارتفاع $AC$ بنامیم داریم: $$S_{AH}=S_{AC} \Longrightarrow AH.BC=AB.AC \Longrightarrow 12BC=AB.AC ~~~~ \ast \ast$$ با توجه به رابطه فیثاغورث برای دو مثلث $AHB$ و $AHC$ داریم: $$AB^2-BH^2=144$$ $$AC^2-CH^2=144$$ $$ \Downarrow $$ $$AB^2+AC^2-BH^2-CH^2=288$$ با کمک اتحادها خواهیم داشت: (می دانیم $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$) $$(AB+AC)^2-2AB.AC-[(BH+HC)^2-2BH.HC]=288 \Longrightarrow $$ با توجه به $\ast$ و $\ast \ast$ داریم: $$(60-BC)^2-24BC-[BC^2-288]=288$$

با حل معادله بدست آمده داریم: $$BC=25$$

Comments

ازقسمت روابط فیثاغورث ها کمی نامفهوم است اگه امکان داره واضح تر توضیح دهید ممنون

---

سلام آخر جواب نمیفهم 60 چرا اومد و جواب چه چوری 25 در امده؟

---

@دانش
چون محیط مثلث 60 است پس:
AB+AC+BC=60

پس

AB+AC=60-BC

Answer 2

a*b=12c

a+b=60-c

طبق قضیه فیثاغورث

a^2+b^2=c^2

طبق اتحاد ها c^2 =a+b)^2-2a*b

پس از جایگذاری در فرمول آخر و ساده کردن داریم: c=25