تابع علامت

Question

در تعریف تابع علامت ($sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j}$) روی تابع دوسویی $\pi : {1,2,...,n} \rightarrow{1,2,...,n}$ چرا i-j و j-i همزمان در صورت کسر اتفاق نمی افتد؟

$$sign \pi ^{-1} = sign \pi$$ $$sign \pi _{1} \pi _{2} = sign \pi _{1} sign \pi _{2}$$

Comments

برای سوال اول می توان از برهان خلف استفاده کرد

Answer 1

دلیل اینکه $i-j$ و $j-i$ همزمان در صورت اتفاق نمی افتد این است که فرض کنید $i-j$ در صورت اتفاق بیافتد پس یک $r$ و یک $s$ وجود داشته که $\pi(r)=i$ و $\pi(s)=j$ و طبق تعریف تابع علامت داریم $r < S$

زمانی $j-i$اتفاق می افتد که $\pi(s)- \pi(r)$ داشته باشیم اما طبق تعریف تابع امکان پذیر نیست. چون $r < S$ است.

برای قسمت دوم در تعریف تابع علامت برای $sgn(\pi)$ از اینکه $i < j$ داریم مخرج مثبت است. اگر صورت نیز مثبت باشد بودن یا نبودن آن جمله در تغییر علامت تاثیر ندارد پس در واقع می توانیم بنویسیم:

$$sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n $ \pi (i)< \pi (j)} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j}$$

و این حکم

$$sign \pi ^{-1} = sign \pi$$ را ثابت می کند. چون: $$sign \pi ^{-1} = \prod _{\pi (i)< \pi (j) $ 1 \leq i < j \leq n} \frac{i-j}{ \pi (i)- \pi (j)}$$