تابع علامت

Question

در تعریف تابع علامت ($sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j} $) روی تابع دوسویی $ \pi : {1,2,...,n} \rightarrow{1,2,...,n} $ چرا i-j و j-i همزمان در صورت کسر اتفاق نمی افتد؟ $$sign \pi ^{-1} = sign \pi $$ $$sign \pi _{1} \pi _{2} = sign \pi _{1} sign \pi _{2}$$

Comments

برای سوال اول می توان از برهان خلف استفاده کرد

Answer 1

دلیل اینکه $ i-j $ و $j-i $ همزمان در صورت اتفاق نمی افتد این است که فرض کنید $ i-j $ در صورت اتفاق بیافتد پس یک $ r $ و یک $ s $ وجود داشته که $\pi(r)=i $ و $ \pi(s)=j $ و طبق تعریف تابع علامت داریم $ r < S $

زمانی $j-i $اتفاق می افتد که $ \pi(s)- \pi(r) $ داشته باشیم اما طبق تعریف تابع امکان پذیر نیست. چون $ r < S $ است.

برای قسمت دوم در تعریف تابع علامت برای $sgn(\pi)$ از اینکه $i < j $ داریم مخرج مثبت است. اگر صورت نیز مثبت باشد بودن یا نبودن آن جمله در تغییر علامت تاثیر ندارد پس در واقع می توانیم بنویسیم: $$ sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n $ \pi (i)< \pi (j)} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j} $$

و این حکم $$sign \pi ^{-1} = sign \pi $$ را ثابت می کند. چون: $$ sign \pi ^{-1} = \prod _{\pi (i)< \pi (j) $ 1 \leq i < j \leq n} \frac{i-j}{ \pi (i)- \pi (j)} $$