تعریف دقیق تابع متعالی ( نه عدد متعالی) چیه ؟

Question

با سلام خدمت دوستان. من تعریف عدد متعالی رو میدونم ، بنا به تعریف ، عدد متعالی عددی است که ریشه های چند جمله‌ای ای با ضرایب گویا نباشه. اما تابع متعالی چیه ؟ به نظرم تابع متعالی باید تعریف تقریباً مشابهی با عدد متعالی داشته باشه. از تابع های متعالی میشه به شش تابع مثلثاتی ، سینوس ، کسینوس ، تانژانت و ... اشاره کرد ، همچنین معکوس توابع مثلثاتی و توابع هایپر بولیک و توابع معکوس هایپر بولیک و توابع نمایی و توابع لگاریتمی و تابع زتای ریمان و تابع گاما هم تابع های متعالی هستند.

Answer 1

سلام. طبق تعریف تابع $y=f(x)$ جبری است هرگاه یک عدد طبیعی مانند $n$ موجود باشد که بتوان $y$ را به صورت $P_ny^n+P_{n-1}y^{n-1}+...+P_1y+P_0=0$ نوشت که در آن $P_i$ ها همگی چند جمله ای هستند.

مثلن $y=f(x)= \frac{x+1}{ \sqrt[5]{x+7}} $ جبری است زیرا:

$y= \frac{x+1}{ \sqrt[5]{x+7}} \Rightarrow y^7= \frac{(x+1)^7}{x+7} \Rightarrow (x+7)y^7=(x+1) \Rightarrow (x+7)y^7-(x+1)=0 \vee $

$P_7(x)=(x+7) \vee P_6=P_5=P_4=P_3=P_2=P_1=0 \vee P_0(x)=-(x+1)^7$

حالا تابع متعالی تابعی است که جبری نباشد.مثلن $y=Lnx$ (با برهان خلف تعریف را بکار ببرید و از بسط تیلور $x=e^y$ استفاده کنید).