سلام.
طبق تعریف تابع $y=f(x)$ جبری است هرگاه یک عدد طبیعی مانند $n$ موجود باشد که بتوان $y$ را به صورت $P_ny^n+P_{n-1}y^{n-1}+...+P_1y+P_0=0$ نوشت که در آن $P_i$ ها همگی چند جمله ای هستند.
مثلن $y=f(x)= \frac{x+1}{ \sqrt[5]{x+7}} $ جبری است زیرا:
$y= \frac{x+1}{ \sqrt[5]{x+7}} \Rightarrow y^7= \frac{(x+1)^7}{x+7} \Rightarrow (x+7)y^7=(x+1) \Rightarrow (x+7)y^7-(x+1)=0 \vee $
$P_7(x)=(x+7) \vee P_6=P_5=P_4=P_3=P_2=P_1=0 \vee P_0(x)=-(x+1)^7$
حالا تابع متعالی تابعی است که جبری نباشد.مثلن $y=Lnx$ (با برهان خلف تعریف را بکار ببرید و از بسط تیلور $x=e^y$ استفاده کنید).
