ثابت کنید$\arctan 0 +\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi$

Question

تساوی زیر را اثبات کنید:

$$\arctan 0 +\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi$$

Answer 1

فرمول زیر را داریم : $$ arctan(x)+ arctan(y) =\begin{cases}arctan(\frac{x+y}{1-xy}) & xy < 1\\ \pi +arctan(\frac{x+y}{1-xy}) & xy > 1 , x > 0\\- \pi +arctan(\frac{x+y}{1-xy})&xy > 1 , x < 0 \end{cases} $$

حال با استفاده از این فرمول چون $ 2,3 > 0 , 2 \times 3 = 6 > 1$ داریم : $$ arctan(2)+arctan(3) = \pi + arctan(\frac{2+3}{1-2 \times 3}) = \pi - \frac{\pi}{4} $$

همچنین $ arctan(1) = \frac{\pi}{4} $ و $ arctan(0) = 0 $ پس :

$$ arctan(0) + arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = 0 + \frac{\pi}{4} + \pi - \frac{\pi}{4} $$

Answer 2

$arctan0+arctan1+arctan2+arctan3=Arg((1+i)(1+2i)(1+3i))=Arg(-10)= \pi $

Comments

@kazomano
روش خیلی جالبیه.

Answer 3

ملاحظه کنید که: $O=(0,0)$, $A=(1,1)$, $B=(-1,3)$, $D=(1,-3)$, $E=(1,0)$.

$$ 2 = \frac{AB}{AO} = \tan \angle AOB $$ $$ 1 = \frac{AE}{EO} = \tan \angle AOE $$ $$ 3 = \frac{DE}{DO} = \tan \angle DOE$$

نقاط $B,O,D$در یک خط قرار دارند. در نتیجه :

$\angle BOD = \tan^{-1}2+\tan^{-1}1+\tan^{-1}3 = \pi$.