اگر $C$ مجموعه کانتور باشد(که از حذف متوالی بازه های یک سومی میانی به دست آمده است) در اینصورت می توان نشان داد:
$$C-C=[-1, 1]$$
روش های متفاوتی برای دیدن این مطلب هست.
در اینجا یک روش که در کتاب Counterexamples in analysis اومده می نویسم:
مجموعه ی $C\times C$ را در نظر بگیرید در اینصورتکافی است نشان دهیم برای هر $\alpha\in [-1, 1]$ خط $y=x+\alpha$ مجموعه ی $C\times C$ را قطع می کند.
(عکس از کتاب بالا گرفته شده)
چون $C=\cap_1^\infty C_n$ برای هر $n$ واضح است که خط $y=x+\alpha$ یکی از چهار مربع تشکیل شده توسط
$$C_1\times C_1=[0,\frac 13]\times [0,\frac 13] \cup [0,\frac 13]\times [\frac 23, 1]\cup [\frac 23, 1]\times [0,\frac 13]\cup [\frac 23, 1]\times [\frac 23]\times [\frac 23, 1]$$ را قطع می کند.
فرض کنید یکی از این 4 مربع را که خط قطع می کند با $S_1$ نمایش دهیم. با استدلال مشابه این خط یکی از چهار مربع موجود در چهار گوشه ی مربع $S_1$ را قطع می کند که آن را با $S_2$ نمایش می دهیم اگر همین روند را دنبال کنیم به دنباله ای از مجموعه های $S_n$ می رسیم که فشرده هستند(مربع هستند) و $S_n\supset S_{n+1}$ پس بنابر قضیه اشتراکی کانتور اشتراک آنها برابر یک نقطه $(x_0, y_0)$ خواهد بود که متعلق به همه مربعها هست و در معادله $y=x+\alpha$ صدق می کند یعنی $y_0-x_0=\alpha$ و حکم ثابت است.
