به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
101 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنیم که $d \in [0,1]$و $ \frac{1}{3} \leq \mid m \mid \leq 3$ نشان دهید که وجود دارد $x,y \in C$ به طوری که $y-mx=d$.که C مجموعه کانتور است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

اگر $C$ مجموعه کانتور باشد(که از حذف متوالی بازه های یک سومی میانی به دست آمده است) در اینصورت می توان نشان داد: $$C-C=[-1, 1]$$


روش های متفاوتی برای دیدن این مطلب هست.

در اینجا یک روش که در کتاب Counterexamples in analysis اومده می نویسم:

مجموعه ی $C\times C$ را در نظر بگیرید در اینصورتکافی است نشان دهیم برای هر $\alpha\in [-1, 1]$ خط $y=x+\alpha$ مجموعه ی $C\times C$ را قطع می کند.

cantor\times cantor (عکس از کتاب بالا گرفته شده)

چون $C=\cap_1^\infty C_n$ برای هر $n$ واضح است که خط $y=x+\alpha$ یکی از چهار مربع تشکیل شده توسط $$C_1\times C_1=[0,\frac 13]\times [0,\frac 13] \cup [0,\frac 13]\times [\frac 23, 1]\cup [\frac 23, 1]\times [0,\frac 13]\cup [\frac 23, 1]\times [\frac 23]\times [\frac 23, 1]$$ را قطع می کند.

فرض کنید یکی از این 4 مربع را که خط قطع می کند با $S_1$ نمایش دهیم. با استدلال مشابه این خط یکی از چهار مربع موجود در چهار گوشه ی مربع $S_1$ را قطع می کند که آن را با $S_2$ نمایش می دهیم اگر همین روند را دنبال کنیم به دنباله ای از مجموعه های $S_n$ می رسیم که فشرده هستند(مربع هستند) و $S_n\supset S_{n+1}$ پس بنابر قضیه اشتراکی کانتور اشتراک آنها برابر یک نقطه $(x_0, y_0)$ خواهد بود که متعلق به همه مربعها هست و در معادله $y=x+\alpha$ صدق می کند یعنی $y_0-x_0=\alpha$ و حکم ثابت است.

دارای دیدگاه توسط
اینجاست که میگن سوال رو با سوال جواب داد
دارای دیدگاه توسط
@kazomano
شما تلاشتونو برای حل ننوشتین.
این سوالو میشه با بسط سه سه ای کانتور هم حل کرد:
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor3.shtml
من یک روش برای سوال قبلیتون نوشتم. که همین روش رو میتونید به این سوالتون تعمیم بدید. شرط $\frac 13\leq |m|\leq 3$ تضمین میکنه که خط $y=mx+\alpha$ یکی از اون مربعها رو قطع میکنه.
لطفا دیدگاه بگذارید اگر در جایی ایرادی بود.
دارای دیدگاه توسط
البته توجه کنید قضیه اشتراکی کانتور میگه که اشتراکشون ناتهیه. ولی در فضاهای کامل چنانچه $\lim diam(C_n)=0$ آنگاه اشتراکشون حتما یک نقطه است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...