به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
126 بازدید
در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

فرض کنیم که $d \in [0,1]$و $ \frac{1}{3} \leq \mid m \mid \leq 3$ نشان دهید که وجود دارد $x,y \in C$ به طوری که $y-mx=d$.که C مجموعه کانتور است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

اگر $C$ مجموعه کانتور باشد(که از حذف متوالی بازه های یک سومی میانی به دست آمده است) در اینصورت می توان نشان داد: $$C-C=[-1, 1]$$


روش های متفاوتی برای دیدن این مطلب هست.

در اینجا یک روش که در کتاب Counterexamples in analysis اومده می نویسم:

مجموعه ی $C\times C$ را در نظر بگیرید در اینصورتکافی است نشان دهیم برای هر $\alpha\in [-1, 1]$ خط $y=x+\alpha$ مجموعه ی $C\times C$ را قطع می کند.

cantor\times cantor (عکس از کتاب بالا گرفته شده)

چون $C=\cap_1^\infty C_n$ برای هر $n$ واضح است که خط $y=x+\alpha$ یکی از چهار مربع تشکیل شده توسط $$C_1\times C_1=[0,\frac 13]\times [0,\frac 13] \cup [0,\frac 13]\times [\frac 23, 1]\cup [\frac 23, 1]\times [0,\frac 13]\cup [\frac 23, 1]\times [\frac 23]\times [\frac 23, 1]$$ را قطع می کند.

فرض کنید یکی از این 4 مربع را که خط قطع می کند با $S_1$ نمایش دهیم. با استدلال مشابه این خط یکی از چهار مربع موجود در چهار گوشه ی مربع $S_1$ را قطع می کند که آن را با $S_2$ نمایش می دهیم اگر همین روند را دنبال کنیم به دنباله ای از مجموعه های $S_n$ می رسیم که فشرده هستند(مربع هستند) و $S_n\supset S_{n+1}$ پس بنابر قضیه اشتراکی کانتور اشتراک آنها برابر یک نقطه $(x_0, y_0)$ خواهد بود که متعلق به همه مربعها هست و در معادله $y=x+\alpha$ صدق می کند یعنی $y_0-x_0=\alpha$ و حکم ثابت است.

توسط kazomano
اینجاست که میگن سوال رو با سوال جواب داد
توسط fardina
@kazomano
شما تلاشتونو برای حل ننوشتین.
این سوالو میشه با بسط سه سه ای کانتور هم حل کرد:
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor3.shtml
من یک روش برای سوال قبلیتون نوشتم. که همین روش رو میتونید به این سوالتون تعمیم بدید. شرط $\frac 13\leq |m|\leq 3$ تضمین میکنه که خط $y=mx+\alpha$ یکی از اون مربعها رو قطع میکنه.
لطفا دیدگاه بگذارید اگر در جایی ایرادی بود.
توسط fardina
البته توجه کنید قضیه اشتراکی کانتور میگه که اشتراکشون ناتهیه. ولی در فضاهای کامل چنانچه $\lim diam(C_n)=0$ آنگاه اشتراکشون حتما یک نقطه است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...