من از نمادگزاری های اینجا http://math.irancircle.com/blog/3 استفاده می کنم.
برای اثبات کامل بودن مجموعه کانتور باید نشان دهیم هیچ نقطه ای از آن ایزوله نیست. فرض کنید $a\in K$ و $r> 0$ دلخواه باشد باید ثابت کنیم $b\in K$ موجود است که $0< |a-b|< r$ . عدد طبیعی $n$ را چنان انتخاب کنید که $\frac 1{3^n}< r$ . اما چون $a\in K$ پس $a\in K_n$ فرض کنید $L$ آن مولفه از $K_n$ باشد که $a\in L$ . اما در ساخت مجموعه کانتور وقتی یک سوم میانی این مولفه $L$ را بر می داریم دو مولفه برای $K_{n+1}$ متناظر با این مولفه ایجاد می شود که آنها را $L_0$ و $L_1$ می نامیم. هر کدام از این مولفه ها دارای نقاطی از $K$ هستند. اگر مثلا $a\in L_0$ در اینصورت $ b$ را هر عضو دلخواه در $K\cap L_1$ در نظر بگیریم آنگاه $0< |a-b|< \frac 1{3^n}< r$ . یعنی ثابت کردیم مجموعه کانتور کامل است.
