ابتدا به چند قضیه زیر توجه نمایید :
قضیه ۱: فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی است . رتبه ماتریس $A$ برابر است با تعداد مقادیر ویژه ناصفر $A$ .
قضیه ۲ : اگر $A$ یک ماتریس مربعی باشد و $ \lambda _{1}, \lambda _{2},..., \lambda _{k}$ مقادیر ویژه متمایز $A$ هستند در این صورت :
$$tr(A)= \lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$
( منظور از $tr(A)$ اثر ماتریس $A$ یعنی جمع درایه های قطری $A$ است )
قضیه ۳ : اگر $A=(a_{i,j})_{n \times n}$ یک ماترس مربعی باشد آنگاه :
$$ tr(AA^{T})= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2 $$
قضیه 4 : اگر $ \lambda $ مقدار ویژه $A$ باشد آنگاه $ \lambda ^2$ مقدار ویژه $A^2$ است .
قضیه5 (نامساوی کوشی شوارتز) : فرض کنید $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ و $ b_{1},b_{2},...,b_{k} $ اعداد حقیقی مثبت هستند در این صورت :
$$( \sum_{i=1}^{k} a_{i}b_{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} a_{i}^2 )(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^2)$$
حال مسئله را حل می کنیم :
فرض کنید $A$ یک ماتریس متقارن صفر و یک است به طوری که درایه های قطر اصلی آن $1$ هستند . فرض کنید $ \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}$
مقادیر ویژه ناصفر $A$ هستند پس طبق قضیه $1$ داریم :
$$rank(A)=k\ \ \ \ \ \ \ ( \star )$$
چون درایه های قطر اصلی $A$ همگی $1$ هستند پس $tr(A)= {1+1+...+1} =n$ از طرفی طبق قضیه $2$ داریم :
$$tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}$$
پس :
$$n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+ \lambda _{k}\ \ \ \ \ \ ( \star \star )$$
طبق قضیه $3$ داریم
$ tr(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2 $ . از طرفی چون درایه های ماتریس $A$ صفر و یک هستند پس :
$$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2=|A| $$
بنابراین $ tr(AA^{T})=|A| $ . چون $A$ ماتریس متقارن است پس $A^{T}=A$ در نتیجه $tr(A^2)=|A|$. طبق قضیه $ 4 $ مقادیر ویژه $A^2$ عبارتند از $ \lambda _{1}^2,\lambda _{2}^2,...,\lambda _{k}^2 $ . حال طبق قضیه $2$ داریم :
$$tr(A^2)= \lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2$$
پس :
$$\lambda _{1}^2+\lambda _{2}^2+...+\lambda _{k}^2=|A|\ \ \ \ \ \ \ ( \star \star \star )$$
حال در قضیه $5$ قرار دهیم :
$$a_{1}=a_{2}=...=a_{k}=1$$
$$b_{1}= \lambda _{1},b_{2}= \lambda _{2},...,a_{k}= \lambda _{k}$$
داریم :
$$( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq ( \sum_{i=1}^{k} 1^2 )(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2)$$
$$ \Rightarrow( \sum_{i=1}^{k} \lambda _{i} )^2 \leq k(\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2) $$
$$ \Rightarrow \frac{ (\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i})^2 }{\sum_{i=1}^{k} \lambda _{i}^2} \leq k $$
حال روابط $( \star ),( \star \star ),( \star \star \star )$ را در نامساوی بالا جاگذاری می کنیم داریم :
$$\frac{n^2}{|A|} \leq rank(A)$$
