تعریف (همسایگی محذوف) : منظور از همسایگی محذوف نقطه x=a بازه ای به مرکز نقطه x=a و شعاع r است که فقط نقطه x=a را از آن حذف کرده ایم .درواقع همسایگی محذوف نقطه x=a به شعاع r به صورت زیر است :
(x-r,x) \cup (x,x+r)
تعریف عامیانه حد تابع در نقطه :
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l را در نظر بگیرید . فرض کنید تابع fدر یک همسایگی محذوف نقطه x=a تعریف شده است .یعنی r > 0 وجود دارد که به ازای هر x \in(a-r,a) \cup (a,a+r) تابع f(x) تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار x روی این همسایگی محذوف به a , مقدار تابع f(x) به عدد l نزدیک شود می گوییم حد تابع f(x) در نقطه x=a برابر l است و می نویسیم :
lim_{x \rightarrow a} f(x) = l
( توجه : لزومی ندارد که تابع f(x) در نقطه x=a تعریف شده باشد. )
تعریف دقیق ریاضی حد تابع در نقطه :
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l را در نظر بگیرید .
می گوییم حد تابع f(x) در نقطه x=a برابر l است
هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد l همچون (l- \varepsilon ,l )\cup(l,l+ \varepsilon ) یک همسایگی محذوف از نقطه x=a همچون (a-r,a)\cup(a,a+r)موجود باشد به طوری که به ازای هر x\in (a-r,a)\cup(a,a+r) داشته باشیم f(x)\in (l- \varepsilon ,l)\cup(l,l+ \varepsilon )
تعریف عامیانه حد راست تابع در نقطه:
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l_{1} را در نظر بگیرید . فرض کنید عدد r > 0 وجود دارد که به ازای هر x \in (a,a+r) تابع f(x) تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار x روی این بازه به نقطه a , مقدار تابع f(x) به عدد l_{1} نزدیک شود می گوییم حد راست تابع f(x) در نقطه x=a برابر l_{1} است و می نویسیم :
lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = l_{1}
تعریف دقیق ریاضی حد راست تابع در نقطه :
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l_{1} را در نظر بگیرید . می گوییم حد راست تابع f(x) در نقطه x=a برابر l_{1} است هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد l_{1} همچون (l_{1}- \varepsilon ,l_{1} )\cup(l_{1},l_{1}+ \varepsilon ) یک همسایگی محذوف سمت راست از نقطه x=a همچون (a,a+r)موجود باشد به طوری که به ازای هر x\in (a,a+r) داشته باشیم f(x)\in (l_{1}- \varepsilon ,l_{1})\cup(l_{1},l_{1}+ \varepsilon )
تعریف عامیانه حد چپ تابع در نقطه :
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l_{2} را در نظر بگیرید . فرض کنید عدد r > 0 وجود دارد که به ازای هر x \in (a-r,a) تابع f(x) تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار x روی این بازه به نقطه a , مقدار تابع f(x) به عدد l_{2} نزدیک شود می گوییم حد چپ تابع f(x) در نقطه x=a برابر l_{2} است و می نویسیم :
lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = l_{2}
تعریف دقیق ریاضی حد چپ تابع در نقطه :
تابع y =f(x) و نقطه x=a و عدد l_{2} را در نظر بگیرید . می گوییم حد چپ تابع f(x) در نقطه x=a برابر l_{2} است هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد l_{2} همچون (l_{2}- \varepsilon ,l_{2} )\cup(l_{2},l_{2}+ \varepsilon ) یک همسایگی محذوف سمت چپ از نقطه x=a همچون (a-r,a)موجود باشد به طوری که به ازای هر x\in (a-r,a) داشته باشیم f(x)\in (l_{2}- \varepsilon ,l_{2})\cup(l_{2},l_{2}+ \varepsilon )
ارتباط حد تابع با حد راست و حد چپ :
اگر حد راست و حد چپ تابع f در نقطه x=a برابر یک عدد باشند یعنی :
lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)=l
آنگاه می توان گفت حد تابع f(x) در نقطه x=a برابر l است یعنی :
lim_{x \rightarrow a} f(x) = l
قضیه مهم : حد تابع y=f(x) در نقطه x=a در صورت وجود یکتاست .
یعنی امکان ندارد تابع f(x) در یک نقطه مشخص به دو عدد نزدیک شود .
تعریف عامیانه حد تابع در بی نهایت :
فرض کنید عدد a وجود دارد که به ازای هر x \in (a,+ \infty ) مقدار f(x) تعریف شده است . حال اگر مقدار x را از هر عدد بزرگی عبور دهیم یا به اصطلاح x را به بی نهایت میل دهیم و مقدار f(x) به عدد مشخص l نزدیک شود می گوییم تابع f(x) در بی نهایت دارای حد l است و می نویسیم :
lim_{x \rightarrow \infty }f(x) = l
تعریف دقیق ریاضی حد تابع در بی نهایت:
تابع y =f(x) و عدد l را در نظر بگیرید .اگر به ازای هر \varepsilon > 0 عدد \delta > 0 موجود باشد به طوری که به ازای هر x\in ( \delta , \infty ) داشته باشیمf(x)\in (l- \varepsilon ,l)\cup(l,l+ \varepsilon ) آنگاه می گوییم حد تابع f در بی نهایت برابر عدد l است .
