تعریف (همسایگی محذوف) : منظور از همسایگی محذوف نقطه $x=a$ بازه ای به مرکز نقطه $x=a$ و شعاع $r$ است که فقط نقطه $x=a$ را از آن حذف کرده ایم .درواقع همسایگی محذوف نقطه $x=a$ به شعاع $r $ به صورت زیر است :
$$ (x-r,x) \cup (x,x+r)$$
تعریف عامیانه حد تابع در نقطه :
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l$ را در نظر بگیرید . فرض کنید تابع $f$در یک همسایگی محذوف نقطه $x=a$ تعریف شده است .یعنی $r > 0$ وجود دارد که به ازای هر $$x \in(a-r,a) \cup (a,a+r) $$ تابع $f(x)$ تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار $x$ روی $ $این همسایگی محذوف به $a$ , مقدار تابع $f(x)$ به عدد $l$ نزدیک شود می گوییم حد تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l$ است و می نویسیم :
$$ lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$$
( توجه : لزومی ندارد که تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ تعریف شده باشد. )
تعریف دقیق ریاضی حد تابع در نقطه :
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l$ را در نظر بگیرید .
می گوییم حد تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l$ است
هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد $l$ همچون $(l- \varepsilon ,l )\cup(l,l+ \varepsilon )$ یک همسایگی محذوف از نقطه $x=a$ همچون $(a-r,a)\cup(a,a+r)$موجود باشد به طوری که به ازای هر $x\in (a-r,a)\cup(a,a+r)$ داشته باشیم $f(x)\in (l- \varepsilon ,l)\cup(l,l+ \varepsilon )$
تعریف عامیانه حد راست تابع در نقطه:
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l_{1}$ را در نظر بگیرید . فرض کنید عدد $r > 0$ وجود دارد که به ازای هر $$x \in (a,a+r) $$ تابع $f(x)$ تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار $x$ روی $ $این بازه به نقطه $a$ , مقدار تابع $f(x)$ به عدد $l_{1}$ نزدیک شود می گوییم حد راست تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l_{1}$ است و می نویسیم :
$$ lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = l_{1}$$
تعریف دقیق ریاضی حد راست تابع در نقطه :
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l_{1}$ را در نظر بگیرید . می گوییم حد راست تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l_{1}$ است هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد $l_{1}$ همچون $(l_{1}- \varepsilon ,l_{1} )\cup(l_{1},l_{1}+ \varepsilon )$ یک همسایگی محذوف سمت راست از نقطه $x=a$ همچون $(a,a+r)$موجود باشد به طوری که به ازای هر $x\in (a,a+r)$ داشته باشیم $f(x)\in (l_{1}- \varepsilon ,l_{1})\cup(l_{1},l_{1}+ \varepsilon )$
تعریف عامیانه حد چپ تابع در نقطه :
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l_{2}$ را در نظر بگیرید . فرض کنید عدد $r > 0$ وجود دارد که به ازای هر $$x \in (a-r,a) $$ تابع $f(x)$ تعریف شده است . حال اگر با نزدیک شدن مقدار $x$ روی $ $این بازه به نقطه $a$ , مقدار تابع $f(x)$ به عدد $l_{2}$ نزدیک شود می گوییم حد چپ تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l_{2}$ است و می نویسیم :
$$ lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = l_{2}$$
تعریف دقیق ریاضی حد چپ تابع در نقطه :
تابع $y =f(x)$ و نقطه $x=a$ و عدد $l_{2}$ را در نظر بگیرید . می گوییم حد چپ تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l_{2}$ است هرگاه به ازای هر همسایگی محذوف عدد $l_{2}$ همچون $(l_{2}- \varepsilon ,l_{2} )\cup(l_{2},l_{2}+ \varepsilon )$ یک همسایگی محذوف سمت چپ از نقطه $x=a$ همچون $(a-r,a)$موجود باشد به طوری که به ازای هر $x\in (a-r,a)$ داشته باشیم $f(x)\in (l_{2}- \varepsilon ,l_{2})\cup(l_{2},l_{2}+ \varepsilon )$
ارتباط حد تابع با حد راست و حد چپ :
اگر حد راست و حد چپ تابع $f$ در نقطه $x=a$ برابر یک عدد باشند یعنی :
$$ lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)=l $$
آنگاه می توان گفت حد تابع $f(x)$ در نقطه $x=a$ برابر $l$ است یعنی :
$$lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$$
قضیه مهم : حد تابع $y=f(x)$ در نقطه $x=a$ در صورت وجود یکتاست .
یعنی امکان ندارد تابع $f(x)$ در یک نقطه مشخص به دو عدد نزدیک شود .
تعریف عامیانه حد تابع در بی نهایت :
فرض کنید عدد $a$ وجود دارد که به ازای هر $x \in (a,+ \infty ) $ مقدار $f(x)$ تعریف شده است . حال اگر مقدار $x$ را از هر عدد بزرگی عبور دهیم یا به اصطلاح $x$ را به بی نهایت میل دهیم و مقدار $f(x)$ به عدد مشخص $l$ نزدیک شود می گوییم تابع $f(x)$ در بی نهایت دارای حد $l$ است و می نویسیم :
$$ lim_{x \rightarrow \infty }f(x) = l$$
تعریف دقیق ریاضی حد تابع در بی نهایت:
تابع $y =f(x)$ و عدد $l$ را در نظر بگیرید .اگر به ازای هر $ \varepsilon > 0$ عدد $ \delta > 0$ موجود باشد به طوری که به ازای هر $x\in ( \delta , \infty )$ داشته باشیم$f(x)\in (l- \varepsilon ,l)\cup(l,l+ \varepsilon )$ آنگاه می گوییم حد تابع $f$ در بی نهایت برابر عدد $l $ است .
