اولا که بی نهایت یک عدد نیست. یعنی در اعداد حقیقی ما عددی به عنوان بی نهایت نداریم و بیشتر این یک نماد گذاریه. به طور کلی علامت بی نهایت به معنای "فراتر از هر مقدار" است و اینکه $x\to \infty$ به معنای این است که $x$ فراتر از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می کند. (ویکی پدیا)
در مبحث حد وقتی ما میگیم $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ به این معنا است که هر چقدر بخواهیم می توانیم مقادیر $f(x)$ را بزگ و بزرگتر کنیم به شرطی که به اندازه کافی به $a$ نزدیک شویم. به بیان ریاضی:
$$\forall N\in\mathbb N\ \exists \delta>0: (0<|x-a|< \delta\implies f(x)> N)$$
توجه کنید که هر چقدر که بخواهیم $\forall N\in\mathbb N$ می توانیم مقادیر $f(x)$ را بزرگ اختیار کنیم $f(x)> N$ به شرطی که به اندازه کافی $\exists \delta>0$ به $x$ نزدیک شویم $0< |x-a|< \delta$ .
توجه کنید که بی نهایت عدد نیست و اعمال و قوانینی که در اعداد حقیقی داریم ممکن است در بینهایت برقرار نباشد. مثلا در اعداد ما داریم $\forall a,b,c\in \mathbb R$ اگر $a+c=b+c$ در اینصورت $ a=b $ اما برای بی نهایت داریم $0+\infty=1+\infty$ چنانچه قانون بالا برقرار باشد خواهیم داشت $0=1$ که تناقض است. یا مثلا در اعداد حقیقی $a< a+1$ در حالیکه $\infty\not< \infty+1$ .
در مبحث حد منظور از عباراتی نظیر $\infty+\infty=\infty$ این است که چنانچه $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ و $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ در اینصورت $\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=\infty$
البته اگر بخوایم از چنین نمادهایی استفاده کنیم بهتره به جای تساوی از نماد $\to$ استفاده بشه. یعنی $\infty+\infty\to \infty$.
و یا منظور از $L+\infty=\infty$ این است که چنانچه $\lim_{x\to a}f(x)=L$ و $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ در اینصورت $\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=\infty$
و به همین ترتیب عباراتی نظیر $\infty\times\infty=\infty$ و $L\times \infty=\infty,(L>0)$ و $L\times\infty=-\infty, (L< 0)$ و $\sqrt{\infty}=\infty$و
$2^\infty=\infty$ و ...
ویرایش بعد از دیدگاه:
در مورد اثبات بله چنانچه $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ در اینصورت می توان اثبات کرد $\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=\infty$ در واقع برای $N>0$ دلخواه داده شده اعداد مثبت $\delta_1,\delta_2>0$ موجودند که اگر $0<|x-a|<\min\{\delta_1,\delta_2\}$ در اینصورت $f(x), g(x)\geq \frac N2$ و لذا $f(x)+g(x)\geq N$ .
منظور از $\lim_{x\to \infty}f(x)=L\in\mathbb R$ این است که هر چقدر بخواهیم می توانیم نقادیر $f(x)$ را به $L$ نزدیک کنیم به شرطی که به اندازه کافی $x$ ها را بزرگ در نظر بگیریم. یعنی
$$\forall \epsilon>0\ \exists N>0: (x\geq N\implies |f(x)-L|< \epsilon)$$
