قرار دهید$u = (ln\ x) ^2 $ و $dv = dx$ در این صورت داریم :
$$ du= \frac{2}{x}(ln\ x)\ dx\ \ \ ,\ \ \ v=x$$
حال با استفاده از انتگرال جز به جز داریم :
$$\begin{align}\int (ln\ x)^2 \ dx&=uv - \int v\ du\\
&=x(ln\ x)^2 - \int x\ \frac{2}{x}(ln\ x)\ dx\\
&=x(ln\ x)^2 - 2\int (ln\ x)\ dx\\
\end{align} $$
حال مجددا برای محاسبه انتگرال $ \int (ln\ x)\ dx $ باید از انتگرال جز به جز استفاده کنیم . پس این بار قرار می دهیم $u = ln\ x$ و $dv = dx$ داریم :
$$ du = \frac{1}{x}dx\ \ \ ,\ \ \ v=x$$ حال با استفاده از انتگرال جز به جز داریم :
$$\begin{align}\int ln\ x\ dx&=uv- \int vdu\\
&=xln\ x - \int x \frac{1}{x} \ dx\\
&=xln\ x - x\\
\end{align} $$
حال با جاگذاری در بالا داریم :
$$\begin{align}x(ln\ x)^2 - 2\int (ln\ x)\ dx&=x(ln\ x)^2 - 2(xln\ x \ -x)\\
&= x(ln\ x)^2 - 2xln\ x \ -2x\\
\end{align} $$
