حل انتگرال $ \int_a^b t^{6} cos( t^{4} )dt $

Question

حل انتگرال زبر را می خواستم

$ \int_a^b t^{6} cos( t^{4} )dt $

Answer 1

مراحل طی شده، درست است. اما همانطور که میدانید $ \int \sin x^{2} $ جزو آن دسته از انتگرالهایی است که نمیتوان آن را برحسب توابع مقدماتی بیان کرد. لذا این مسئله با روشهایی که تاکنون با آن آشنا شده ایم قابل حل نیست.

Comments

درسته. البته می‌توان $\sin$ را برحسب سری نامتناهی متناظرش نوشته و سپس از آن انتگرال گرفت. ولی در اینجا با توجه به اینکه قبل از $\sin$عبارت $x^2$ وجود دارد شاید اوضاع فرق کند مثلا $\int x\sin x^2dx= -1/2 \cos x^2$. میشه بیشتر توضیح بدید که چرا فکر میکنید قابل حل نیست؟

---

چون من تمام راه حلهای ممکن رو براش پیاده کردم ولی متاسفانه هر بار که از جز به جز و تغییر متغیر استفاده میکردم به انتگرالی میرسیدم که $ \int f(x) \cos x^{2} $ یا $ \int g(x) \sin x^{2} $ میرسیدم که در اون $g(x), f(x) $ توابعی به صورت $ x^{k} $ هستند و استفاده از روشهای مذکور فقط منجر به تکرار انتگرالهایی که ذکر شد، میشه. لذا بنظرم فقط با روش بسط با در نظر گرفتن خطای عددی میتونیم جوابی براش پیدا کنیم.

---

دقیقا مشکل همینه که گفتید. ممنون

Answer 2

مساله رو به یک مساله دیگر تبدیل کنیم:

فرض کنید $ I=\int x^6\cos x^4 dx $ .

قرار دهید:

$\begin{cases} u=x^3\Rightarrow du=3x^2dx\\ dv=x^3\cos x^4dx\Rightarrow v=\frac 14\sin x^4\end{cases} $

بنابراین داریم:

$ \begin{align} I&=\int udv\\ &=uv-\int vdu\\ &= \frac 14x^3\sin x^4-\int\frac 34 x^2\sin x^4 dx \end{align} $

اما حالا چطوری انتگرال $\int x^2\sin x^4 dx $ را به دست آوریم!؟