پیدا کردن مختصات در یک دایره

Question

سلام چطور میشه فهمید که نقطه c در چه مختصاتی هست؟ از چه فورمولی باید استفاده کرد ؟

Comments

چون Xو Y با هم برابرند پس زاویه با محور X ها 45 است
پس نقطه خواسته شده 45-90 یعنی 45 درجه پایین محور است
پس مختصات ان X=2 , Y=-2 خواهد بود

---

من فورمول کلی حل این سوال رو میخواستم تا بتونم مختصات هر نقطه روی محیط دایره رو حساب کنم
فورمول کلی چی میشه
با تشکر

Answer 1

$$\alpha =A \hat{C} D$$ $$\theta =A \hat{C}B$$ $$x_A=r cos( \alpha ) ,y_A=r sin( \alpha )$$ $$\Rightarrow r= \sqrt{x_A^2+y_A^2} , tan( \alpha )= \frac{y_A}{x_a}$$ طبق شکل: $$x_B=rcos( \alpha - \theta ),y_B=rsin( \alpha - \theta )$$ با جایگذاری مقادیر جواب برای حالت کلی بدست می آید برای این حالت: $$x_B=2 , y_B=-2$$

Answer 2

به صورت کلی بررسی میکنیم توجه کنید که برای راحتی فرض میکنیم $C(\alpha ,\beta)=(0,0)$

شکل را در نظر بگیرید دونقطه از خط $\bar{AC}$ را داریم در نتیجه میتوانیم معادله خط $\bar{AC}$ را بدست بیاوریم :

$$m_{AC}=\dfrac{y_a }{x_a }$$ $$y=\dfrac{y_a}{x_a }(x)$$

درنظر بگیرید که خط $\bar{AC}$ با خط $\bar{AC}$ عمود است در نتیجه $m_{AC}\cdot m_{BC}=-1$ و همچنین معادله خط $\bar{BC}$ برابر خواهد بود با :

$$y =\dfrac{-x_a}{ y_a }(x) \tag{1}$$ حال معادله دایره را بدست میاوریم :

$$x^2+y^2=(\sqrt{x_a^2+y_a^2})^2\tag{2}$$

حالا نقاط برخورد معادله $(1)$ و $(2)$ بدست میاوریم :

$$x^2+(\dfrac{-x_a}{ y_a }(x))^2=x_a^2+y_a^2$$ $$\bbox[,5px,border:1px solid teal]{x_{b,b'}=\pm\dfrac{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}{\sqrt{\dfrac{x_a^2+y_a^2}{y_a^2}}}=\pm|y_a|}$$

و همچنین :

$$\bbox[,5px,border:1px solid teal]{y_{b,b'}=\dfrac{-x_a}{ y_a } \big( \pm\dfrac{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}{\sqrt{\dfrac{x_a^2+y_a^2}{y_a^2}}}\big)=\dfrac{-x_a}{ y_a } (\pm|y_a|)}$$

Comments

اگه میشه جواب آخر رو ساده کنید

---

@saiid
خودتون هم میتونستید ساده کنید به هر حال ساده شد .

Answer 3

چون دسته بندی دانشگاه انتخاب کردید میتونیم از اعداد مختلط کمک بگیریم.

با استفاده از اعداد مختلط مختصات نقطه داده شده $2\sqrt 2e^{\frac\pi 4i}$ و ختصات نقطه خواسته شده $2\sqrt 2e^{(\frac \pi 4-\frac \pi 2)i}=2\sqrt 2e^{-\frac \pi 4i}=2\sqrt 2(\cos -\frac \pi 4+i\sin -\frac \pi 4)=2-2i$ یعنی مختصات آن $(2,-2)$ خواهد بود.

و اگر دسته بندی دبیرستان رو در نظر بگیریم میتونید معادله پارامتری دایره رو در نظر بگیرید که به صورت $x=r\cos \theta$ و $y=r\sin \theta$ خواهد بود. با توجه به مختصات مرکز و نقطه داده شده شعاع برابر است با $2\sqrt 2$ واز $\theta=\arctan \frac yx$ داریم $\theta=\frac\pi 4$ و با توجه به شکل $\theta$ به اندازه $\frac \pi 2$ یعنی $\theta=\frac \pi 4-\frac\pi 2=-\frac \pi4$در جهت منفی است لذا مختصات نقطه داده شده برابر است با $x=2\sqrt 2\cos-\frac \pi 4=2$ و $y=2\sqrt 2\sin -\theta=-2$ .

Answer 4

طبق شکل سوال نقطه C دوران یافته B به اندازه 270 درجه (پاد ساعتگرد) حول مبدا است

بنابر این میتوان توسط ماتریس دوران هم سوال را حل کرد.

$$R_ \theta = \begin{bmatrix} cos( \theta) & -sin( \theta ) \\ sin( \theta ) & cos( \theta) \\ \end{bmatrix} \Rightarrow R_{3 \pi /2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ $\begin{bmatrix}\ 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$$R_ {3 \pi /2} B=C \rightarrow \begin{bmatrix}\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ x_B \\ y_B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ x_C \\ y_C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ y_B \\ -x_B \end{bmatrix}$$ $$C=\begin{bmatrix}\ y_B \\-x_B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$$

Answer 5

از طريق دو نقطه ي BوAشيب خط رو پيدا ميكنيم سپس ميدونيم كه m.m'=-1 شيب خط AوCرو پيدا ميكنيم و با جاگذاري نقطه ي A مختصات خط رو پيدا ميكنيم سپس با استفاده از مقدار شعاع معادله ي فاصله ي نقطهAاز C رو مينويسيم و با فرمول خطش مساوي قرار ميديم و بدست مياد