به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
3,038 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط anahata (11 امتیاز)

سلام چطور میشه فهمید که نقطه c در چه مختصاتی هست؟ از چه فورمولی باید استفاده کرد ؟

enter image description here

توسط Reza.S (795 امتیاز)
ویرایش شده توسط Reza.S
+1
چون Xو Y با هم برابرند پس زاویه با محور X ها 45 است
پس نقطه خواسته شده 45-90 یعنی 45 درجه پایین محور است
پس مختصات ان X=2 , Y=-2 خواهد بود
توسط anahata (11 امتیاز)
من فورمول کلی حل این سوال رو میخواستم تا بتونم مختصات هر نقطه روی محیط دایره رو حساب کنم
فورمول کلی چی میشه
با تشکر

5 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Reza.S (795 امتیاز)

enter image description here

$$\alpha =A \hat{C} D$$ $$ \theta =A \hat{C}B $$ $$x_A=r cos( \alpha ) ,y_A=r sin( \alpha ) $$ $$ \Rightarrow r= \sqrt{x_A^2+y_A^2} , tan( \alpha )= \frac{y_A}{x_a} $$ طبق شکل: $$ x_B=rcos( \alpha - \theta ),y_B=rsin( \alpha - \theta )$$ با جایگذاری مقادیر جواب برای حالت کلی بدست می آید برای این حالت: $$x_B=2 , y_B=-2$$

+2 امتیاز
توسط saderi7 (7,043 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

enter image description here

به صورت کلی بررسی میکنیم توجه کنید که برای راحتی فرض میکنیم $C(\alpha ,\beta)=(0,0)$

شکل را در نظر بگیرید دونقطه از خط $ \bar{AC} $ را داریم در نتیجه میتوانیم معادله خط $ \bar{AC} $ را بدست بیاوریم :

$$m_{AC}=\dfrac{y_a }{x_a } $$ $$y=\dfrac{y_a}{x_a }(x) $$

درنظر بگیرید که خط $ \bar{AC} $ با خط $ \bar{AC} $ عمود است در نتیجه $m_{AC}\cdot m_{BC}=-1$ و همچنین معادله خط $ \bar{BC} $ برابر خواهد بود با :

$$y =\dfrac{-x_a}{ y_a }(x) \tag{1}$$ حال معادله دایره را بدست میاوریم :

$$x^2+y^2=(\sqrt{x_a^2+y_a^2})^2\tag{2}$$

حالا نقاط برخورد معادله $(1)$ و $(2)$ بدست میاوریم :

$$x^2+(\dfrac{-x_a}{ y_a }(x))^2=x_a^2+y_a^2$$ $$\bbox[,5px,border:1px solid teal]{x_{b,b'}=\pm\dfrac{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}{\sqrt{\dfrac{x_a^2+y_a^2}{y_a^2}}}=\pm|y_a|}$$

و همچنین :

$$\bbox[,5px,border:1px solid teal]{y_{b,b'}=\dfrac{-x_a}{ y_a } \big( \pm\dfrac{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}{\sqrt{\dfrac{x_a^2+y_a^2}{y_a^2}}}\big)=\dfrac{-x_a}{ y_a } (\pm|y_a|)}$$
توسط saiid. (109 امتیاز)
اگه میشه جواب آخر رو ساده کنید
توسط saderi7 (7,043 امتیاز)
@saiid
خودتون هم میتونستید ساده کنید به هر حال ساده شد .
+1 امتیاز
توسط fardina (15,190 امتیاز)

چون دسته بندی دانشگاه انتخاب کردید میتونیم از اعداد مختلط کمک بگیریم.

با استفاده از اعداد مختلط مختصات نقطه داده شده $2\sqrt 2e^{\frac\pi 4i}$ و ختصات نقطه خواسته شده $2\sqrt 2e^{(\frac \pi 4-\frac \pi 2)i}=2\sqrt 2e^{-\frac \pi 4i}=2\sqrt 2(\cos -\frac \pi 4+i\sin -\frac \pi 4)=2-2i$ یعنی مختصات آن $(2,-2)$ خواهد بود.

و اگر دسته بندی دبیرستان رو در نظر بگیریم میتونید معادله پارامتری دایره رو در نظر بگیرید که به صورت $x=r\cos \theta$ و $y=r\sin \theta$ خواهد بود. با توجه به مختصات مرکز و نقطه داده شده شعاع برابر است با $2\sqrt 2$ واز $\theta=\arctan \frac yx$ داریم $\theta=\frac\pi 4$ و با توجه به شکل $\theta$ به اندازه $\frac \pi 2$ یعنی $\theta=\frac \pi 4-\frac\pi 2=-\frac \pi4$در جهت منفی است لذا مختصات نقطه داده شده برابر است با $x=2\sqrt 2\cos-\frac \pi 4=2$ و $y=2\sqrt 2\sin -\theta=-2$ .

+1 امتیاز
توسط Reza.S (795 امتیاز)

طبق شکل سوال نقطه C دوران یافته B به اندازه 270 درجه (پاد ساعتگرد) حول مبدا است

بنابر این میتوان توسط ماتریس دوران هم سوال را حل کرد.

$$R_ \theta = \begin{bmatrix} cos( \theta) & -sin( \theta ) \\ sin( \theta ) & cos( \theta) \\ \end{bmatrix} \Rightarrow R_{3 \pi /2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ $\begin{bmatrix}\ 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$$R_ {3 \pi /2} B=C \rightarrow \begin{bmatrix}\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ x_B \\ y_B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ x_C \\ y_C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ y_B \\ -x_B \end{bmatrix}$$ $$C=\begin{bmatrix}\ y_B \\-x_B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$$
0 امتیاز
توسط

از طريق دو نقطه ي BوAشيب خط رو پيدا ميكنيم سپس ميدونيم كه m.m'=-1 شيب خط AوCرو پيدا ميكنيم و با جاگذاري نقطه ي A مختصات خط رو پيدا ميكنيم سپس با استفاده از مقدار شعاع معادله ي فاصله ي نقطهAاز C رو مينويسيم و با فرمول خطش مساوي قرار ميديم و بدست مياد


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...