$ \lim_{ \frac{f(x)}{g(x )} \rightarrow \infty } \sqrt[n]{f(x)+g(x)} - \sqrt[n]{f(x)} =?$

Question

حاصل حد زیر چیست؟ ممنون $ \lim_{ \frac{f(x)}{g(x )} \rightarrow \infty } \sqrt[n]{f(x)+g(x)} - \sqrt[n]{f(x)} =?$

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+x^n$$

$$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+x^m$$

Answer 1

$$if: \frac{g(x)}{f(x)} \longrightarrow 0$$ $$ \sqrt[n]{f(x)+g(x)} - \sqrt[n]{f(x)} $$ $$= ( \sqrt[n]{f(x)} )( \sqrt[n]{1+ \frac{g(x)}{f(x)} }-1 )$$ $$= \sqrt[n]{f(x)} ((1+ \frac{g(x)}{nf(x)} )-1 ) $$ $$= \frac{g(x)}{ n\sqrt[n]{ f(x)^{n-1} } } $$

بنابراین حد بالا به$g(x), f(x)^{n-1} $ وابسته است

Answer 2

این سوال چند جواب می تواند داشته باشد . ابتدا به نکته زیر توجه نمایید :

هم ارزی نیوتن : $$lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[n]{a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}=lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[n]{a_{n}}(x+\frac{a_{n-1}}{na_{n}})$$

حال قرار دهید $n=3$ و $m=2$ و : $$f(x)=x^3+x^2+1$$ $$g(x)=x^2+x+1$$ داریم : $$lim_{x \rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x \rightarrow \infty }\frac{x^3}{x^2}= \infty $$ حال با استفاده از هم ارزی نیوتن داریم : $$\small{\begin{align}lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{f(x)+g(x)}-\sqrt[3]{f(x)}&=lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{x^3+2x^2+x+2}-\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\\ &=lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{1}(x+\frac{2}{3})-\sqrt[3]{1}(x+\frac{1}{3})\\ &=\frac{1}{3} \end{align} }$$

حال قرار دهید : $$f(x)=x^3+x^2+1$$ $$g(x)=x+1$$ داریم : $$lim_{x \rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x \rightarrow \infty }\frac{x^3}{x}= \infty $$

حال با استفاده از هم ارزی نیوتن داریم :

$$\small{\begin{align}lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{f(x)+g(x)}-\sqrt[3]{f(x)}&=lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{x^3+x^2+x+2}-\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\\ &=lim_{x \rightarrow \infty }\sqrt[3]{1}(x+\frac{1}{3})-\sqrt[3]{1}(x+\frac{1}{3})\\ &=0 \end{align} }$$

پس بسته به ضابطه $f(x),g(x)$ جواب حد تغییر می کند .