روشی که شما پرسشتان را نوشتهای گزارهای نادرست است، برای نمونه با قرار دادن
$$f(x)=x^2,g(x)=x,q(x)=x^3,R(x)=x^4$$
تمامی فرضهای گزارهٔ شما برقرارند یعنی هر چهار مورد چندجملهای هستند. $g(x)\neq 0$ و $\deg f(x)>\deg g(x)$ ولی حکم گزارهٔ شما برقرار نیست زیرا $q(x)q(x)+R(x)=xx^3+x^4=2x^4$ که مخالف $x^2$ است.
صورت درست قضیهٔ الگوریتم تقسیم چندجملهایهای تکمتغیره به شکل زیر است:
به فرض $f(x)$ و $g(x)$ دو چندجملهای باشند و $g(x)$ مخالف صفر و $\deg g(x)<\deg f(x)$. در اینصورت چندجملهایهای یکتای $q(x)$ و $r(x)$ (من با آر کوچک برای این قضیه راحتترم تا آر بزرگ) که $\deg r(x)<\deg f(x)$ و $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ وجود دارند.
اثبات: توجه کنید که یک چندجملهای تکمتغیره به شکل
$$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$
است. درجهٔ یک چندجملهای ناصفر، بزرگترین توان ظاهر شده در نمایش آن است. و جملهٔ دارای این توان را جملهٔ پیشروی آن مینامیم. الگوریتم تقسیم به این شکل است که نگاه به درجهٔ $g$ و $f$ میکنید. اگر درجهٔ $g$ کمتر از درجهٔ $f$ باشد (که فرض کردهاید است) شروع به کار میکنیم. این بیشتر بودن درجه باعث میشود که جملهٔ پیشروی $f$ به جملهٔ پیشروی $g$ بخشپذیر باشد. تقسیم دو تکجملهای را به شکل زیر تعریف میکنیم.
$$\frac{a_nx^n}{b_nx^m}=\frac{a_n}{b_n}x^{n-m}$$
حاصل تقسیم جملهٔ پیشروی $f$ به جملهٔ پیشروی $g$ را با $q_1(x)$
نمایش دهید. قرار دهید $r_1(x)=f(x)-q_1(x)g(x)$ چون جملهٔ پیشروی $f$ در این تفاضل از بین میرود و سایر جملات در این تفاضل درجهٔ کمتر دارند، حاصل یک چندجملهای با درجهٔ اکیداً کمتر از درجهٔ $f$ است پس میتوانیم بگوئیم
$$\ deg r_1\leq \deg f-1$$
بعلاوه داریم
$$q_1g+r_1=(f-q_1g)+q_1g=f$$
اگر درجهٔ $r_1$ از درجهٔ $g$ کمتر بود که الگوریتم را متوقف میکنیم (شرط ایست الگوریتم). وگرنه مرحلهٔ پیش را بر روی $r_1$ انجام میدهیم و $q_2$ و $r_2$ ای خواهیم داشت که
$$\deg r_2\leq\deg r_1 -1,\;r_2=q_2g+r_1$$
اما
$$\begin{array}{ll}
f & =q_1g+r_1\\
& =q_1g+q_2g+r_2\\
& = (q_1+q_2)g+r_2
\end{array}$$
دوباره با شرط ایست الگوریتم را برای $r_2$ یعنی $\deg r_2<\deg g$ را بررسی میکنیم. در صورت عدم برقراری آن ادامه میدهیم.
نخست توجه کنید که این الگوریتم حتما پس از تعداد متناهی گام میایستد. زیرا درجهٔ $f$ یک عدد طبیعی و متناهی است و پس از هر مرتبه تکرار گام الگوریتم یک درجه از آن کاسته میشود و حداکثر در بدترین حالت پس از $\deg f-\deg g$ مرحله درجهٔ چندجملهای باقیمانده از درجهٔ $g$ کمتر میشود و شرط ایست روی میدهد.
اکنون با توجه به روند الگوریتم میبینید که پس از خروج از الگوریتم با قرار دادن آخرین $r_i$ به عنوان $r$ و قرار دادن جمع $q_i$ها به عنوان $q$ دو ویژگی دلخواهمان را داریم. یعنی؛
$$\deg r<\deg g,\;f=qg+r$$
اکنون تنها اثبات یکتایی این دو چندجملهای ماندهاست.
به فرض خلف فرض کنید $q,r$ و $q',r'$ هر دو دارای دو ویژگی بالا باشند پس از یک طرف داریم؛
$$\deg(r-r')\leq\max(\deg r,\deg r')<\deg g$$
توجه کنید که در مورد درجهٔ چندجملهایهای تکمتغیره دو قانون سادهٔ زیر را داریم:
$$\deg(h_1(x)+h_2(x)\leq\max(\deg h_1(x),\deg h_2(x))$$
$$\deg(h_1(x)h_2(x))=\deg h_1(x)+\deg h_2(x)$$
قسمت دوم نامساوی نیز به این خاطر بود که بیشینهٔ دو عدد، یکی از آن دو عدد است پس اگر آن دو عدد از مقداری کمتر باشند، بیشینهٔ آن دو نیز از آن مقدار کمتر است.
اینک از طرف دیگر نگاه کنید که؛
$$r-r'=f-qg-f+q'g=(q-q')g$$
اگر $q$ و $q'$ با هم برابر باشند آنگاه $r$ و $r'$ نیز مجبور هستند برابر باشند پس میتوانیم فرض کنیم که $q-q'\neq 0$ و در نتیجه:
$$\deg(r-r')=\deg((q-q')g)=\deg)q-q')+\deg g\geq\deg g$$
پس
$$\deg(r-r')<\deg g\leq\deg(r-r')\Longrightarrow\deg(r-r')<\deg(r-r')$$
که تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا نمیتوان دو جفت متمایز برای $q,r$ داشته باشیم.
