سلام سوالی داشتم در مورد چند جمله ای تیلور .
فرض کنید تابعی مانند $ f $ داریم که :
در نقطه ی $ a $ تا مرتبه ی $ n $ مشتق دارد .
در این صورت یک چند جمله ایی یکتایی مانند $ p $ وجود دارد که در $(n+1) $شرط زیر صدق میکند :
$$p(a)=f(a)$$
$$p'(a)=f'(a)$$
$$p''(a)=f''(a)$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$p^n(a)=f^n(a)$$
چند جمله ایی $p$ :
$$p(x)= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^k(a)}{k!} (x-a)^{k} $$
حالا چند سوال :
الف)همینطور که میبینم این چند جمله ایی چند کاربرد داره مثلا به جای اینکه مقدار تابع رو در$a$
بدست بیاوریم میتونیم از چند جمله ایی ان استفاده کنیم و اینکه بجای اینکه مشتق تابع در نقطه ی$a$ بدست بیاورریم میتونیم از چند جملهایی ان استفاده کنیم .درسته ؟
ب)در جاهایی یا مثلا همین سایت نوشته خطای چند جمله ایی تیلور .اون خطا از کجا اومده .این که اثبات شده است و نقضی هم ندارد اون خطا دیگه چیه؟
پ) ایا میتونیم یک تابع رو برابر چند جمله ایی تیلور خودش گرفت . یعنی $f=g$
و اگر نه چه شرایطی باید داشته باشد که مساوی چند جمله ایی خودش باشد .؟
ت)چگونه میتوان از چند جمله ایی تیلور برای محاسبه حد کمک گرفت .
با تشکر
