اولا که تابع $f:\mathbb R\to \mathbb R$ با چنین شرایطی نمی توان تعریف کرد چرا که اگر $0$ عضوی از دامنه باشد در اینصورت $f=0$ . (چرا؟)
فرض کنید $f:\mathbb R^{>0}\to \mathbb R$ تابعی باشد که در شرط مساله صدق کنید. در اینصورت می توان نشان داد که
- $f(x^n)=nf(x)$
- $f(x^{\frac mn})=\frac mn f(x)$
حال اگر شرط پیوستگی را نیز اضافه کنیم داریم
- به ازای هر $r\in \mathbb R$ و $x\in\mathbb R^{>0}$ داریم $f(x^r)=rf(x)$
چنانچه شرط مشتقپذیری را نیز اضافه کنیم در اینصورت با مشتق گیری نسبت به $x$ داریم
$yf'(xy)=f'(x)$
قرار دهید $x=1$ داریم $yf'(y)=f'(1)$ یا $f'(y)=\frac{f'(1)}y$ با انتگرال گیزی داریم
$$f(x)=\int_1^x \frac{f'(1)}tdt=f'(1)\ln x$$
توجه کنید که $f'(1)=0$ .
