$E(a+b)=E(a)E(b): \forall a,b\in R$

Question

فرض کنیم تابعی داریم : $E:R \longrightarrow R$

و تابع $E$خاصیت زیر را دارا است :

$$E(a+b)=E(a)E(b): \forall a,b\in R$$

حال ثابت کنید که :

$$E(x)= E(1)^{x}; \forall x\in Q گویا$$

خیلی ممنون!

Answer 1

تعریف کنید $g(x)=log(E(x))$ . حال برای هر $a,b\in R$ داریم : $$\begin{align}g(a+b)&=log(E(a+b))\\ &=log(E(a)E(b))\\ &=log(E(a))+log(E(b))\\ &=g(a)+g(b) \end{align} $$ پس $g(a+b)=g(a)+g(b)$ . قرار دهیم $a=b=0$ داریم : $$g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0)=2g(0)$$ پس $g(0)=0$ . حال با استقراء ریاضی می توان نشان داد : $$ \forall n\in N\ ,\forall a_{1},...,a_{n}\in R\ :\ g(a_{1}+...+a_{n})=g(a_{1})+..+g(a_{n})$$ فرض کنید $n\in N$ قرار دهید $ a_{1}=...=a_{n}=\frac{1}{n}$ داریم : $$g(\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n})=g(\frac{1}{n})+..+g(\frac{1}{n})$$ $$ \Rightarrow g(1)=g(\frac{1}{n})+..+g(\frac{1}{n})$$ $$\Rightarrow g(1)=ng(\frac{1}{n})$$ $$\Rightarrow g(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}g(1)$$ حال فرض کنید $m,n\in N$ قرار دهید $ a_{1}=...=a_{m}=\frac{1}{n} $ داریم : $$g(\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n})=g(\frac{1}{n})+..+g(\frac{1}{n})$$ $$ \Rightarrow g(\frac{m}{n})=g(\frac{1}{n})+..+g(\frac{1}{n})$$ $$\Rightarrow g(\frac{m}{n})=mg(\frac{1}{n})$$ $$\Rightarrow g(\frac{m}{n})=m(\frac{1}{n}g(1))=\frac{m}{n}g(1)$$ پس به ازای هر عدد گویای مثبت $x$ داریم $g(x)=xg(1)$. از طرفی داریم : $$ \forall x\in R\ :\ g(0)=g(x+(-x))=g(x)+g(-x)=0$$ $$ \Rightarrow g(-x)=-g(x)$$ حال اگر $x$ عدد گویای منفی باشد آنگاه $-x$ عدد گویای مثبت است پس : $$ -g(x)=g(-x)=(-x)g(1)$$ $$ \Rightarrow g(x)=xg(1)$$ پس به ازای هر عدد گویای منفی $x$ نیز داریم $g(x)=xg(1)$ . بنابراین به ازای هر عدد گویای $x$ داریم $g(x)=xg(1)$ . حال فرض کنید $x$ عدد گویا است داریم : $$\begin{align}E(x)&=10^{g(x)}\\ &=10^{xg(1)}\\ &=(10^{g(1)})^{x} \end{align} $$ از طرفی طبق تعریف $E(1)=10^{g(1)}$ پس : $$E(x)=E(1)^x$$

Comments

سلام میشه سوال منو حل کنید ؟
http://math.irancircle.com/6055/%24-f-x-g-y-xf-x-yf-x-g-x-%24

Answer 2

$E(x) = E(1).E(x-1) => E(x) = E(1).E(1).E(x-2)$ همین کار رو ادامه میدیم تبدیل ب x تا E(1) میشه ک توی هم دیگه ضرب شدن => $E(x) = E(1)^x$

Comments

این استدلال درست نیست.

---

استدلال درست نیست ! x لزوما عدد طبیعی نیست .