برابری (معادله) $x^3-8=0$ در $x=2$ ریشهٔ ساده دارد یا تکراری (مکرر)؟

Question

تابعِ ${x^3}-8$ در $x=2$ ریشهٔ سادهٔ مکرر یا غیرمکرر دارد؟

فکر می‌کنم با توجه به تعریف مکرر بودن این تابع در $x=2$ ریشه مکرر دارد، آیا درست فکر می‌کنم؟ اما توی جزوهٔ من که معلمم حل کرده این نقطه را ساده غیر مکرر معرفی کرده‌.

این پرسش در قسمت فصل ۳، مشتقات جزوه‌ام آمده‌است.

Answer 1

$$f(x)=x^{3}-8$$

حال تجزیه میکنیم:

$$f(x)=(x-2)^{n}g(x),g(2) \neq 0$$ $$f(x)=(x-2)^{1}(x^{2}+2x+4)$$

پس ریشه یک بار تکرار شده است .بنابراین ریشه ساده است .

Comments

@amirpirmoradian94
برای اطلاع بیشتر به لینک زیر مراجعه کنید:
http://math.irancircle.com/4766

Answer 2

مشکل شما در مفهوم‌ها هستند که به خاطر تدریس بد یا عدم دقت خودتان یا هر دلیل ممکن دیگری بد متوجه شده‌اید. ریشه مقداری است که زمانی که در یک برابریِ متغیردار جایگذاری می‌کنید، برابری دارای ارزش درست باشد، بنابراین $x=2$ یک ریشه یا پاسخ برای برابریِ $x^3-8=0$ است. زمانی که تنها ضابطه‌ای به شما می‌دهند بدون علامت برابری (تساوی) برای نمونه $x^3-8$ آنگاه به صورت پیش‌فرض منظورشان برابریِ بدست‌آمده (حاصل) از قرار دادنِ ضابطه‌تان برابر با صفر است. اکنون برویم سراغ ابهام‌های شما. ابهام شمارهٔ یکِ شما این است که ریشه یا «ساده» است یا «تکراری (مکرر)» و چیزی به نام ریشهٔ «سادهٔ مکرر» نداریم. ابهام شمارهٔ دوی شما این است که تعریفِ ساده یا تکراری بودن ریشه با مفهومِ «توانِ چندمِ یک عدد در برابری استفاده شده‌است» اشتباه گرفته‌شذه است، یعنی چون ۲ به‌توان ۳ منهای ۸ برابر با صفر شده‌است، به ذهن‌تان رسیده‌است که شاید مرتبهٔ $x=2$ به عنوان ریشهٔ برابری‌تان باید ۳ باشد که اشتباه است. مرتبه یا تعداددفعهٔ ریشه‌بودن یعنی چند بار این عدد ریشه می‌شود که برای یک چندجمله‌ایِ تک‌متغیره با چند بار در تجزیهٔ چندجمله‌ای ظاهر شدن هم‌ارز است که در پاسخ آقای @saderi7 نیز از این ایده استفاده شده‌است. اما روش کلی‌تر که برای ناچندجمله‌ای‌ها نیز می‌توانید استفاده کنید استفاده از مشتق است.

برای روشن‌تر شدن ایده پیش از ارائهٔ دقیق آن یک تابع پیوسته و هموار (مشتق‌پذیر، بدون شکستگی و تغییر ناگهانیِ شیب) با دو ریشهٔ متمایز را در نظر بگیرید. بدون کاستن از کلیت فرض کنید پیش از ریشهٔ نخست مقدار آن منفی است (این کار دست‌بالا -حداکثر- با یک ضرب در منفی یک شدنی -میسر- است). پس منحنیِ این تابع چیزی شبیه به سهمیِ وارونه می‌شود. شیب منحنی در ریشهٔ یکُم مثبت است چون نقاط روی خم نمودار تابع از مقادیر منفی حرکت کرده و در ریشهٔ نخست به صفر و سپس مثبت می‌شود پس افزایشی (صعودی) است. سپس در یک نقطهٔ بیشینهٔ نسبی (در این حالت مطلق هم است) شیبش صفر و شروع به کاهش می‌کند و در ریشهٔ دوم شیب منفی می‌شود. اکنون بیایید دو ریشه را به هم نزدیک‌تر کنیم و دوباره منحنی را رسم کنیم. این کار را ادامه دهید تا دو ریشه به هم برسند. چه اتفاقی می‌افتد؟ این ریشه بیشنهٔ نسبی با شیب صفر می‌شود (شیب در ریشهٔ نخست کوچکتر و در ریشهٔ دوم بزرگتر می‌شدند تا اینکه هر دو به صفر برسند و برابر شوند). و این معنای واقعیِ دو بار ریشه بودن است نه بزرگترین توانِ $x$ در ضابطهٔ تابع. در اینجا دیدیم که وقتی که یک عدد دو بار ریشه می‌شود، مشتق یکُم صفر می‌شود. با روش مشابه و دقت به جزئیات لازم می‌توانید ببینید که زمانی‌که یک عدد $n$بار ریشه می‌شود (یعنی $n$ ریشه در یک مقدار با یکدیگر برخورد می‌کنند) آنگاه تمامیِ مشتق‌ها تا مشتقِ $(n-1)$اُم با هم برابر می‌شوند. و باید توجه کنید که خود مشتقِ $n$اُم حتما ناصفر می‌شود (خودتان به دلیل آن فکر کنید). این مطلب به صورت کاملا دقیق در برخی کتاب‌ها آورده‌شده‌است که می‌توانید بگردید و با جزئیات کامل بخوانید. و اما پس از اینکه از نظر شهودی با مفهوم مرتبهٔ ریشه آشناتر شدیم، تعریف دقیق‌تر و محاسباتیِ آن را در زیر می‌آوریم.

مرتبهٔ ریشهٔ یک برابری

تابع پیوسته و مشتق‌پذیر تک‌متغیرهٔ $f(x)$ را در نظر بگیرید. $x=x_0$ ریشه‌ای از مرتبهٔ $n$ برای برابریِ $f(x)=0$ گفته می‌شود هر گاه $$\Big(\forall \;0\leq i\leq n-1\;\colon\;f^{(i)}(x_0)=0\Big)\text{ and }\Big(f^{(n)}(x_0)=0\Big)$$ که and به معنای «وَ» است و $f^{(i)}(x)$ یعنی مشتقِ $i$اُم که مشتق صفرم خود تابع است.

و این دلیلی است که آموزگار شما این موضوع را در بخش «مشتق‌ها» برایتان آورده‌است. اکنون بیاییم و مرتبهٔ ریشه بودنِ $x=2$ برای برابریِ $x^3-8=0$ را بیابیم. پس داریم $f(x)=x^3-8$. $$\begin{array}{lll} f(x)=x^3-8 &\Longrightarrow f(2)=0\\ f'(x)=3x^2 &\Longrightarrow f'(2)=12\neq 0 \end{array}$$ چون تنها تا مشتق صفرم برابر با صفر شد و مشتق یکُم برابر صفر نشد، پس مرتبهٔ این ریشه برابر با $0+1=1$، یک است یعنی ریشه‌ای ساده‌ است (تکرار نشده‌است، پس تکراری -مکرر- نیست).

Comments

ببخشید گفتید توضیحات دقیق تو کتاب های دیگه هست اگه میشه معرفی شون کنید احتیاج سریع دارم با تشکر