متغیر تصادفی x آمار و احتمالات

Question

متغییر تصادفی $X$ دارای تابع توزیع احتمال انباشته زیر است: $$F(x) =\begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{ x^{2} }{16} & 0 < x < 2\\0 & x > 2\end{cases} $$ 1-تابع توزیع اختمال این متغییر تصادفی را بدست آوردی و نشان دهید که سطح زیر منحنی این تابع1 واحد مربع است.

2-امید ریاضی این متغییر تصادفی را بدست آورید.

3-$P(1 < x < 2)$ را بیابید؟

Comments

پیوندی که برای تصویر داده‌اید پیام «یافت نشد» می‌دهد. بعلاوه همان‌گونه که @erfanm اشاره کردند، پرسش اشتباه است. حتی پیش از مشتق گرفتن، اگر تابعی که ارائه دادید قرار می‌بود تابع توزیع انباشتگی (تجمعی) باشد آنگاه می‌بایست افزایشی اکید (اکیدا صعودی) باشد و حدش در مثبت بینهایت برابر یک باشد اما تابع شما پس از یک کاهش می‌یابد و حدش در بینهایت برابر صفر است. بعلاوه در دو نقطه تعریف نشده‌است!!!
بعلاوه زمانی که تابع‌تان در شرایطش صدق نمی‌کند حرف از امید و ادامهٔ داستان بی‌معنا می‌شود.

Answer 1

برای بدست آوردن تابع توزیع اختمال کافیست از آن مشتق بگیریم. $ f_{X}(x) =\begin{cases} \frac{x}{8} & 0 < x < 2\\0 & O.W\end{cases} $

$$ \int_{- \infty }^{+ \infty } f_{X}(x) dx= \int_{0}^2 \frac{x}{8} dx= \frac{ 2^{2} }{16}- \frac{ 0^{2} }{16}= \frac{1}{4} $$

پس سوال طرح شده غلط است. چون باید انتگرال برابر 1 شود.

برای قسمت آخر: $P(1 < x < 2)=F( 2^{-} )-F(1)= \frac{ 2^{2} }{16}- \frac{ 1^{2} }{16}$

امید ریاضی به صورت زیر بدست می آید: $$ \int_{- \infty }^{+ \infty } xf_{X}(x) dx= \int_{0}^2 x \frac{ x }{8} dx= \frac{ 2^{3} }{24}- \frac{ 0^{3} }{24}$$