آمار و احتمالات دانشگاه

Question

احتمال مشکی بودن رنگ چشم کودکان دریک خانواده برابر با ¾است چنانچه در این خانواده ۵ کودک وجود داشته باشند احتمال اینکه فقط ۳ کودک دارای چشم مشکی رنگ باشند چقدر است؟

Answer 1

آزمایشی تصادفی را در نظر بگیرید که با احتمال $p$ پیروز می شود واضح است که احتمال شکست $1-p$ است حالا اگر متغیر تصادفی $X$ را تعداد پیروزیهای این آزمایش در $n$ آزمایش بگیرید داریم:

$p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} :k=0,1,....,n$

حالا میتوان موضوع سوال را یک آزمایش تصادفی با احتمال پیروزی $p= \frac{3}{4}$ در نظر گرفت که $5$ مرتبه تکرار شده است و تعداد فرزندان چشم مشکی این خانواده را $X$ بگیرید پس جواب $p(X=3)$ است:

$p(X=3)= \binom{5}{3} ( \frac{3}{4} )^3( \frac{1}{4} )^{5-3}=\binom{5}{3} \times \frac{3^3}{4^5}$

$\Box$