تعریف توپولوژی اقلیدسی در $\mathbb R$

Question

سلام در کتاب توپولوژی موریس گفته:

زیر مجموعه $ S $ از $R $ در توپولوژی اقلیدسی بر روی $ R $

باز است هرگاه در شرط زیر صدق کند :

به ازای هر $ x\in S $ اعضایی مانند $ a,b :b>a $ در $ \mathbb R $ وجود داشته باشد به طوری که $x\in (a,b) \subseteq R $

حالا برداشت من از این تعریف آیا درست است؟

اگر $ \tau $مجموعه ایی از زیر مجموعه های$\mathbb R$ باشد به طوری که :

به ازای هر $ x\in S_{i} , S_{i} \in \tau $ , یک بازه ی بازی وجود داشته باشد در $\mathbb R$ که $x$ عضو آن بازه باشد. در این صورت $ \tau $ یک توپولوژی است . که به آن توپولوژی اقلیدسی روی $\mathbb R$ گویند .

Answer 1

واضح است که برداشت شما نادرست است. چراکه هیچ دلیلی برای توپولوژی بودن $\Im$ در حالت کلی وجود ندارد. توپولوژی اقلیدسی توپولوژی است که توسط پایه ای متشکل از تمام بازههای باز $\mathbb{R}$ تعریف می شود.

Comments

@N
خیلی ممنون .
حالا که پایه شد مجموعه تمام بازه های باز : توپولوژی اقلیدسی چگونه تعریف میشه !

Answer 2

برای تعریف توپولوژی اقلیدسی به اینجا رجوع کنید:

منظور از توپولوژی اقلیدسی چیست؟

همه اون چیزی که موریس گفته اینه که گردایه گویهای باز در $\mathbb R$ که می توان با $(a,b)$ به ازای $a,b\in\mathbb R$ ی نمایش داد تشکیل یک پایه برای توپولوزی ای می دهد که به آن توپولوژی اقلیدسی می گویند.

اگر تعریف پایه را به یاد آورید

گردایه $\mathcal B$ تشکیل یک پایه برای توپولوژی $\tau$ روی $X$ می دهد هر گاه به ازای هر $x\in X$ و هر $U\in \tau$ که $x\in U$ یک عضو از $\mathcal B$ مانند $B$ موجود باشد که $x\in B\subset U$ .

به عبارت دیگر هر مجموعه باز $U\in\tau$ را می توان به صورت اجتماعی از اعضای پایه $\mathcal B$ نوشت.