تعریفِ «معادله» چیست و همینطور زمانی که به همراه واژه های دیگر می آید مانند «معادلهٔ چندجمله ای» یا «معادلهٔ تابعی» و غیره.

Question

آیا معادلهٔ ریاضی رو می‌توان به صورت ریاضی تعریف کرد؟ منظورم از معادله هر معادله‌ای می‌تونه باشه مانندِ معادلهٔ چندجمله‌ای، معادلهٔ مثلثاتی، توانی، لگاریتمی و ... یا معادلهٔ تابعی یا معادلهٔ دیفرانسیلی، در کل هر معادله‌ای. آیا «معادلات»، نظریهٔ خاصی دارند؟ یعنی آنها رو ابتدا با اصل موضوع می‌سازند بعد بدست می‌آورند یا نه از نظریهٔ خاصی ایجاد شده؟

Answer 1

معادله یک واژهٔ عربی است، انگلیسی آن equation و فارسیِ آن «برابری» است. زمانی که یک واژه را به زبان خودتان می‌گوئید تعریف آن خیلی روشن می‌شود ولی گاهی یک واژه را از زبان دیگر تکرار می‌کنید و آنگاه فکر می‌کنید که این واژه صرفا یک اسم است و خود واژه معنای خاصی به جز نام بودن برای شیءِ مورد نظر ندارد. معادله از عدل بر وزن مفاعله می‌آید، equation نیز از فعل equal می‌آید. هر دوی عدل و equal به معنای برابر بودن است، برابری از برابر می‌آید. اکنون باید برایتان روشن باشد، هر عبارتی که در آن یک علامتِ برابری (تساوی) دارید یک برابری (معادله) است. برای نمونه $1+1=2$ نیز یک برابری است یا $\int_0^1\sin(x)dx=1-\cos(1)$. یک برابری الزاما نیازی به داشتن مجهول ندارد. اکنون برابری چندجمله‌ای (معادلهٔ چندجمله‌ای) یا برابریِ دیفرانسیلی (معادله‌دیفرانسیل) و غیره نیز روشن هستند، برابریِ چندجمله‌ای یعنی برابری‌ای که در آن چندجمله‌ای‌ها به کار رفته باشند، یا برابریِ دیفرانسیلی یعنی برابری‌ای که در آن مشتق (دیفرانسیل) به کار رفته شده‌باشد. پس $x^2+x+1=y^3-x$ یک برابری چندجمله‌ای است ولی $\cos^x+\sin^2x=1$ یک برابریِ چندجمله‌ای نیست.