73-زاویه ی بین دو محور تقارن متوالی از یک چند ضلعی، کدام یک از اعداد زیر می تواند باشد؟(سمپاد 95)

Question

73-زاویه ی بین دو محور تقارن متوالی از یک چند ضلعی، کدام یک از اعداد زیر می تواند باشد؟

الف) $\sqrt{360}$

ب)31

ج)$ \frac{1}{5} $

د)7

Answer 1

چندضلعی‌های منظم (چندگوش‌های منظم) را در نظر بگیرید. دو حالت سه‌گوش منظم (مثلث متساوی‌الأضلاع) و چهارگوش منظم (مربع) در شکل زیر آمده‌اند. محورهای تقارین آنها خطوطی هستند که؛

• در حالت زوج بودن تعداد گوش‌ها از دو گوشهٔ متقابل عبور کند یا از وسط دو یال متقابل عبور کند.
• در حالت فرد بودن تعداد گوش‌ها از یک گوشه و میان یال متقابلش عبور کند.

زاویهٔ بین دو محور تقارن متوالی در هر دو حالت یعنی زاویهٔ بین یک محور تقارن عبور کرده از یک گوشه و محور تقارنی عبور کرده از میان یک یال دارای آن گوشه. این زاویه نصف زاویهٔ میان دو محور تقارن عبور کرده از دو گوشهٔ همسایه (مجاور) است. زاویهٔ میان دو محور تقارن عبور کرده از دو گوشهٔ همسایه برابر یک قسمت از $n$ (تعداد گوشه‌ها) قسمت زاویهٔ کل دایره یعنی $2\pi$ یا همان $360$ است. پس در کل زاویهٔ بین دو محور تقارن پشت‌سرهم برای چندگوش‌های منظم برابر است با $\frac{360}{2n}=\frac{180}{n}$ است. روشن است که اعداد صحیحی که بخواهند حاصل این کسر برای یک عدد طبیعی $n$ شوند باید مقسومی از $180$ باشند پس گزینه‌های ب و دال رد می‌شوند. بعلاوه تقسیم دو عدد طبیعی عددی گویا است و هرگز برابر عدد گنگی مانند $\sqrt{360}=6\sqrt{10}$ نمی‌شود پس گزینهٔ الف نیز رد می‌شود. اما گزینهٔ جیم؛

فرض کنیم $n$ای هست که $\frac{180}{n}=\frac{1}{5}$ و ببینیم آیا چنین $n$ای واقعا وجود دارد. با یک طرفین-وسطین ساده داریم $n=900$ بنابراین گزینهٔ جیم واقعا برای یک چندگوشه رُخ داد.