پاسخ پرسش شما منفی است.
پیش از دادن مثال نقض. کمی با p-زیرگروه‌های سیلو بیشتر آشنا می‌شویم.
G را یک گروه متناهی بردارید یعنی متناهی عنصر داشته باشد. عدد اصلی این گروه یک عدد طبیعی است و به ازای هر عدد اول p می‌توانید عدد حسابیِ a (اعداد حسابی که با \mathbb{I} و یا \mathbb{W} نمایش می‌دهند مجموعهٔ اعداد طبیعی‌است که عنصر صفر به آن افزوده شده‌است) و عدد طبیعی m یکتایی بیابید که عدد اصلی گروهمان برابر شود با p^am گه p\nmid m . هر زیرگروه از G که عدد اصلی‌اش (تعداد عناصرش) توانی نابدیهی از p باشد (یک توان صفر p است که آن‌را نمی‌خواهیم) را یک p-زیرگروه از G می‌نامیم. اگر این توان بیشینه مقدار ممکن باشد، این زیرگروه را p-زیرگروه سیلوی G می‌نامیم. قضیهٔ سیلو سه بخش دارد یا برخی هر بخش را یک قضیه معرفی می‌کنند. بخش یکم می‌گوید که این بیشترین توان ممکن همیشه توان p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است. برخی برعکس مسیر را طی می‌کنند که ممکن است روش ما را آمدن از طرف مخالف بدانند ولی نتیجه یکسان است. یعنی آنها می‌گویند p-زیرگروه سیلو p-زیرگروهی است که عدد اصلی‌اش دقیقا توان آمده از p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است و سپس می‌گویند که بخش یکم قضیهٔ سیلو می‌گوید چنین زیرگروهی همیشه وجود دارد. این دو دیدگاه هم‌ارز هستند.
بخش دوم رابطهٔ p-زیرگروه‌ها و p-زیرگروه‌های سیلو را بررسی می‌کند. و بخش سوم پیرامون تعداد p-زیرگروه‌های سیلو صحبت می‌کند.
اکنون به پرسش شما برگردیم. فرض‌هایمان را اینگونه مرور کنیم؛
یک گروه متناهی به نام G داریم که |G|=p^am که p\nmid m.
یک p-زیرگروه سیلو از آن مانند P برمی‌داریم پس |P|=p^a.
یک زیرگروه دلخواه از G مانند H بدون داشتن هیچ فرضی برمی‌داریم. بنا به قضیهٔ لاگرانژ داریم که عدد اصلی آن عدد اصلی گروه را می‌شمارد پس |H|=p^bn که b\leq a و p\nmid n و n|m.
اکنون پرسش این است آیا H\cap P، p-زیرگروه سیلویی برای H می‌شود؟
دوباره از قضیهٔ لاگرانژ و اینکه اشتراک دو گروه، زیرگروه هر دو می‌شود داریم؛
\begin{array}{l}H\cap P\leq H\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^bn\\
H\cap P\leq P\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^a\end{array}
از این دو تنها می‌توان نتیجه گرفت که |H\cap P|=p^c، یعنی شما بیشترین چیزی که با این عمومیت فرض‌ها می‌توانید بگویید این است که H\cap P در حالتی که بدیهی نشود یک p-زیرگروه از H یا حتی خود G می‌شود.
اکنون مثال نقض برای اینکه c ممکن است برابر با b نشود.
ساده‌ترین مثال نقض. گروه G را S_3 بردارید. سه تا دو زیرگروه سیلو دارد. یکی از آنها مانند \langle (1\;2)\rangle را در نقش P بردارید. برای زیرگروه H، گروه \langle (1\;3)\rangle را بردارید. H یک دو زیرگروه سیلو دارد و آن نیز خودش است. ولی توجه کنید که P\cap H=(1) و گروه تک‌عضوی همانی است که دو زیرگروه سیلوی H نمی‌باشد. برای نمونه در حالتی که اشتراک بدیهی نشود می‌توانید به گروه‌های از عدد اصلی بالاتر مراجعه کنید.
