پاسخ پرسش شما منفی است.
پیش از دادن مثال نقض. کمی با p-زیرگروههای سیلو بیشتر آشنا میشویم.
G را یک گروه متناهی بردارید یعنی متناهی عنصر داشته باشد. عدد اصلی این گروه یک عدد طبیعی است و به ازای هر عدد اول p میتوانید عدد حسابیِ a (اعداد حسابی که با $\mathbb{I}$ و یا $\mathbb{W}$ نمایش میدهند مجموعهٔ اعداد طبیعیاست که عنصر صفر به آن افزوده شدهاست) و عدد طبیعی m یکتایی بیابید که عدد اصلی گروهمان برابر شود با $p^am$ گه $p\nmid m $. هر زیرگروه از G که عدد اصلیاش (تعداد عناصرش) توانی نابدیهی از p باشد (یک توان صفر p است که آنرا نمیخواهیم) را یک p-زیرگروه از G مینامیم. اگر این توان بیشینه مقدار ممکن باشد، این زیرگروه را p-زیرگروه سیلوی G مینامیم. قضیهٔ سیلو سه بخش دارد یا برخی هر بخش را یک قضیه معرفی میکنند. بخش یکم میگوید که این بیشترین توان ممکن همیشه توان p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است. برخی برعکس مسیر را طی میکنند که ممکن است روش ما را آمدن از طرف مخالف بدانند ولی نتیجه یکسان است. یعنی آنها میگویند p-زیرگروه سیلو p-زیرگروهی است که عدد اصلیاش دقیقا توان آمده از p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است و سپس میگویند که بخش یکم قضیهٔ سیلو میگوید چنین زیرگروهی همیشه وجود دارد. این دو دیدگاه همارز هستند.
بخش دوم رابطهٔ p-زیرگروهها و p-زیرگروههای سیلو را بررسی میکند. و بخش سوم پیرامون تعداد p-زیرگروههای سیلو صحبت میکند.
اکنون به پرسش شما برگردیم. فرضهایمان را اینگونه مرور کنیم؛
یک گروه متناهی به نام G داریم که $|G|=p^am$ که $p\nmid m$.
یک p-زیرگروه سیلو از آن مانند P برمیداریم پس $|P|=p^a$.
یک زیرگروه دلخواه از G مانند H بدون داشتن هیچ فرضی برمیداریم. بنا به قضیهٔ لاگرانژ داریم که عدد اصلی آن عدد اصلی گروه را میشمارد پس $|H|=p^bn$ که $b\leq a$ و $p\nmid n$ و $n|m$.
اکنون پرسش این است آیا $H\cap P$، p-زیرگروه سیلویی برای $H$ میشود؟
دوباره از قضیهٔ لاگرانژ و اینکه اشتراک دو گروه، زیرگروه هر دو میشود داریم؛
$$\begin{array}{l}H\cap P\leq H\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^bn\\
H\cap P\leq P\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^a\end{array}$$
از این دو تنها میتوان نتیجه گرفت که $|H\cap P|=p^c$، یعنی شما بیشترین چیزی که با این عمومیت فرضها میتوانید بگویید این است که $H\cap P$ در حالتی که بدیهی نشود یک p-زیرگروه از $H$ یا حتی خود $G$ میشود.
اکنون مثال نقض برای اینکه $c$ ممکن است برابر با $b$ نشود.
سادهترین مثال نقض. گروه G را $S_3$ بردارید. سه تا دو زیرگروه سیلو دارد. یکی از آنها مانند $\langle (1\;2)\rangle$ را در نقش P بردارید. برای زیرگروه H، گروه $\langle (1\;3)\rangle$ را بردارید. H یک دو زیرگروه سیلو دارد و آن نیز خودش است. ولی توجه کنید که $P\cap H=(1)$ و گروه تکعضوی همانی است که دو زیرگروه سیلوی H نمیباشد. برای نمونه در حالتی که اشتراک بدیهی نشود میتوانید به گروههای از عدد اصلی بالاتر مراجعه کنید.
