محاسبه حدود عبارت رادیکالی

Question

اگر $A=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{}4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}}}$ باشد کدام یک از گزینه های زیر درست است؟

الف) $1< A< 2$

ب) $2< A< 3$

ج) $3< A< 4$

د) $3< A< 4$

Comments

چرا گزینه های ج و د شبیه هم هستن

Answer 1

$A< \sqrt{1+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{9} } } } } }=2 $

و

$A> \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{4} } } } } }= \sqrt{3}>1 $

پس گزینه یک درسته.

Comments

آفرین ! خوشم اومد ساده تر از این نمیشه

---

قربون شما.ما از شما یاد میگیریم.

Answer 2

با توجه به اینکه داریم :

$$ 2 < \sqrt{6} < 3 $$ پس :

$$ 7 < 5+\sqrt{6} < 8 $$ $$ 2 < \sqrt{7} < \sqrt{5+\sqrt{6}} < \sqrt{8} < 3 $$ $$ 6 < 4+\sqrt{5+\sqrt{6}} < 7 $$ $$ 2 < \sqrt{6} < \sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}} < \sqrt{7} < 3 $$ $$ 5< 3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}} < 6 $$ $$ 2 < \sqrt{5} < \sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6} < 3 $$ $$ 4 < 2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}} < 5 $$ $$ 2=\sqrt{4} < \sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}}}< \sqrt{5} < 3 $$ $$ 3 < 1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}}} < 4 $$ $$ 1 < \sqrt{3} < \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6}}}}}} < \sqrt{4}=2 $$ $$ \Rightarrow 1 < A < 2 $$

Answer 3

$$\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+ \sqrt{6} } } } } }$$ $$ \simeq \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{7.4} } } } }$$ $$ \simeq \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{6.7} } } }$$ $$ \simeq \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{5.5 } } }$$ $$ \simeq \sqrt{1+ \sqrt{4.3 } }$$ $$ \simeq \sqrt{3}$$ $$ \Longrightarrow 1 < \sqrt{3} < 2 $$

پس در نتیجه گزینه یک درست است